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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Kosinussatz

In jedem Dreieck gilt:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

und entsprechend

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Beweis: Es reicht, die erste Gleichheit zu beweisen. Die andern Beweise laufen entsprechend. Alle Bezeichnungen beziehen sich auf nebenstehende Abbildung.

Es sei $h_{c}$ die Höhe auf die Seite $c$. Nach dem Satz des Pythagoras angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ADC gilt

(1)   $h_{c}^{2}=b^{2}-d^{2}$

Nach der 2. binomischen Formel gilt

(2)   $\left({c-d}\right)^{2}=c^{2}-2cd+d^{2}$

Nach Pythagoras angewendet auf das Dreieck CDB gilt:

(3)   $a^{2}=h_{c}^{2}+(c-d)^{2}$

Wenn man (1) und (2) in (3) einsetzt, erhält man:

(4)   $a^{2}=b^{2}-d^{2}+c^{2}-2cd+d^{2}$,

vereinfacht:

(5)   $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cd$

Im rechtwinkligen Dreieck ADC gilt:

(6)   $d=b\cdot \cos \alpha$

(6) in (5) eingesetzt ergibt das Resultat:

(7)   $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$.

Damit ist die erste Gleichung bewiesen. Die andern beiden beweist man analog.

Wikipedia-Verweise

Kosinussatz