Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Kosinussatz

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Beweisarchiv: Geometrie

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Kosinussatz[Bearbeiten]

Cossatz-01.png

In jedem Dreieck gilt:

und entsprechend

Beweis: Es reicht, die erste Gleichheit zu beweisen. Die andern Beweise laufen entsprechend. Alle Bezeichnungen beziehen sich auf nebenstehende Abbildung.

Es sei die Höhe auf die Seite . Nach dem Satz des Pythagoras angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ADC gilt

(1)  

Nach der 2. binomischen Formel gilt

(2)  

Nach Pythagoras angewendet auf das Dreieck CDB gilt:

(3)  

Wenn man (1) und (2) in (3) einsetzt, erhält man:

(4)   ,

vereinfacht:

(5)  

Im rechtwinkligen Dreieck ADC gilt:

(6)  

(6) in (5) eingesetzt ergibt das Resultat:

(7)   .

Damit ist die erste Gleichung bewiesen. Die andern beiden beweist man analog.