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Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Viereck: Flächenformel von Bretschneider

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Beweisarchiv: Geometrie

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Formel von Bretschneider[Bearbeiten]

Die Fläche eines Vierecks aus den vier Seiten und zwei gegenüber liegenden Winkeln ist

(1)  

Dreiecksflächen über zwei Seiten und den Innenwinkel und siehe analog Beweisarchiv Satz des Heron Formel (3)

(1.1)  

(1.2)  

Summe und quadriert

(2.1)  

(2.2)  

Nach dem Kosinussatz ist

(3.1)  

(3.2)  

gleichgesetzt

(3.3)  

(3.4)  

quadriert

(3.5)  

Zusammenhang Sinus/Kosinus

(4.1)  

(4.2)  

(4.3) 

(4.4) 

eingesetzt in (3.5)

(5.1) 

(5.2) 

weil nach (2.2):

eingesetzt

(5.3) 

nach aufgelöst

(5.4) 

(5.5) 

(5.6) 

Zwischenrechnung

(6) 

(6.1) 

(6.2) 

(6.3) 

(6.4) 

(6.1) bis (6.4) ausmultipliziert

(7) 

rechte Seite schrittweise ausmultipliziert

(7.1.1) 

(7.1.2) 

(7.2.1) 

(7.2.2) 

(7.3.1) 

(7.3.2) 

(7.4) 

(7.5) 

(7.6) 

den rechten Teil

in (5.6) eingesetzt

(8.1) 

(8.2) 

(8.3) 

aus Halbwinkelformel (17.1)

(8.4) 

oder

(8.5) 

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Formel von Bretschneider