Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Japanischer Satz für konzyklische Vierecke

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Japanese theorem 2.svg

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei ein nicht überschlagenes Sehnenviereck.

Ferner sei

  • der Mittelpunkt des Inkreises von
  • der Mittelpunkt des Inkreises von
  • der Mittelpunkt des Inkreises von und
  • der Mittelpunkt des Inkreises von .

Behauptung[Bearbeiten]

ist ein Rechteck.

Beweis[Bearbeiten]

(im folgenden -Winkel genannt) weil beide Winkel Umfangswinkel zur Sehne sind. Daraus folgt, dass

weil

Durch die Gleichheit dieser Winkel ist ein Sehnenviereck.

Durch die Eigenschaften der Sehnenvierecke gilt jetzt

Alle Aussagen gelten analog auch für

Also gilt auch

Durch Addition der Winkel kommt folgendes heraus

Da

gilt

Da alle Aussagen analog für die anderen Winkel zwischen den Mittelpunkten gelten, betragen sie alle .

Somit ist ein Rechteck. q.e.d. (quod erat demonstrandum = was zu beweisen war)