Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie

Beweisarchiv: Geometrie

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Größtenteils betrachten wir im Folgenden affine Ebenen, seltener affine Räume. Eine affine Ebene ${\mathfrak {E}}$ ist eine Inzidenzstruktur, bestehend aus einer Menge $P$ von Punkten, einer Menge $G$ von Geraden und einer Inzidenzrelation $\varepsilon$, so dass

1. Sind $a,b\in P$ zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade $g\in G$ mit $a\varepsilon g$ und $b\varepsilon g$. Schreibweise: $g=ab$
2. Ist $g\in G$ eine Gerade und $p\in P$ ein Punkt, so gibt es genau eine durch $p$ verlaufende Gerade $h$, die parallel zu $g$ ist. Schreibweise: $h=\operatorname {par} (g,p)$
3. Es gibt drei nicht kollineare Punkte.

Zum Verständnis der zweiten Bedingung beachte man: Sind $g,h\in G$ zwei verschiedene Geraden, so haben sie aufgrund der ersten Eigenschaft höchstens einen Punkt gemeinsam, d.h. inzidiert ein Punkt $p$ mit zwei verschiedenen Geraden $g,h$, so ist dieser Punkt eindeutig bestimmt. In diesem Fall sagen wir, dass die Geraden $g$ und $h$ sich schneiden. Schreibweise: $p=g\wedge h$. Zwei Geraden $g,h$, die sich nicht schneiden, heißen dagegen parallel (Schreibweise: $g\|h$). Dies umfasst auch den Fall $g=h$.