Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Größtenteils betrachten wir im Folgenden affine Ebenen, seltener affine Räume. Eine affine Ebene ist eine Inzidenzstruktur bestehend aus eine Menge von Punkten, einer Menge von Geraden und einer Inzidenzrelation , so dass

  1. Sind zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade mit und . Schreibweise:
  2. Ist eine Gerade und ein Punkt, so gibt es genau eine durch verlaufende Gerade , die parallel zu ist. Schreibweise:
  3. Es gibt drei nicht kollineare Punkte.

Zum Verständnis der zweiten Bedingung beachte man: Sind zwei verschiedene Geraden, so haben sie aufgrund der ersten Eigenschaft höchstens einen Punkt gemeinsam, d.h. inzidiert ein Punkt mit zwei veschiedenen Geraden , so ist dieser Punkt eindeutig bestimmt. In diesem Fall sagen wir, dass die Geraden und sich schneiden. Schreibweise: . Zwei Geraden , die sich nicht schneiden, heißen dagegen parallel (Schreibweise: ). Dies umfaßt auch den Fall .