Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Größtenteils betrachten wir im Folgenden affine Ebenen, seltener affine Räume. Eine affine Ebene ist eine Inzidenzstruktur bestehend aus eine Menge von Punkten, einer Menge von Geraden und einer Inzidenzrelation , so dass

  1. Sind zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade mit und . Schreibweise:
  2. Ist eine Gerade und ein Punkt, so gibt es genau eine durch verlaufende Gerade , die parallel zu ist. Schreibweise:
  3. Es gibt drei nicht kollineare Punkte.

Zum Verständnis der zweiten Bedingung beachte man: Sind zwei verschiedene Geraden, so haben sie aufgrund der ersten Eigenschaft höchstens einen Punkt gemeinsam, d.h. inzidiert ein Punkt mit zwei veschiedenen Geraden , so ist dieser Punkt eindeutig bestimmt. In diesem Fall sagen wir, dass die Geraden und sich schneiden. Schreibweise: . Zwei Geraden , die sich nicht schneiden, heißen dagegen parallel (Schreibweise: ). Dies umfaßt auch den Fall .