Beweisarchiv: Geometrie: Satz vom Flüstergewölbe

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Im Artikel „Ellipse“ der deutschsprachigen Wikipedia findet sich unter „Brennpunkteigenschaft“ die Aussage:

"Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet."

Wenn ein Gewölbe einem Rotationsellipsoid entspricht, bewegt sich Schall, der von einem Brennpunkt in einem Brennstrahl ausgesandt wird, gemäß diesem Reflexionsgesetz auf einem weiteren Brennstrahl zum anderen Brennpunkt hin. Da alle Schallwege zwischen zwei Brennpunkten zudem gleich lang sind, kommt der Schall nicht nur gebündelt, sondern auch zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an. Idealerweise ist das Flüstern in einem Brennpunkt von einem Hörer im anderen zu verstehen (daher auch die Bezeichnnung Flüstergewölbe). Dieser Zusammenhang motiviert die hier verwendete Bezeichnung des Satzes.

In der Wikipedia findet sich ein elementargeometrischer Beweis. Hier wird ein Beweis mit Mitteln der analytischen Geometrie vorgestellt.

Voraussetzung

Ellipsenpunkt $(x=a\cos(t),y=b\sin(t))$

Brennstrahl zum Brennpunkt mit negativer Abszisse ${\vec {v}}_{1}=(a\cos(t)+e,b\sin(t))$

Brennstrahl zum Brennpunkt mit positiver Abszisse: ${\vec {v}}_{2}=(a\cos(t)-e,b\sin(t))$

Normalenvektor im betrachteten Ellipsenpunkt ${\vec {n}}=(x/a^{2},y/b^{2})=(\cos(t)/a,\sin(t)/b);$

Behauptung

$\sphericalangle ({\vec {n}},{\vec {v}}_{1})=\sphericalangle ({\vec {n}},{\vec {v}}_{2})$

Da die betrachteten Winkel kleiner als $\pi /2$ und o.B.d.A. positiv sind, ist hinreichend, dass ihre Cosinus übereinstimmen. Mit dem Skalarprodukt hat die Behauptung die Form:

${\vec {n}}{\vec {v}}_{1}/|n||{\vec {v}}_{1}|=\cos \sphericalangle ({\vec {n}},{\vec {v}}_{1})=\cos \sphericalangle ({\vec {n}},{\vec {v}}_{2})={\vec {n}}{\vec {v}}_{2}/|n||{\vec {v}}_{2}|$

Da die betrachteten Cosinus positiv sind, ist hinreichend:

$({\vec {n}}{\vec {v}}_{1})^{2}{\vec {v}}_{2}^{2}=({\vec {n}}{\vec {v}}_{2})^{2}{\vec {v}}_{1}^{2}$

Beweis

Nach Voraussetzung lassen sich die Faktoren der hinreichenden Bedingung wie folgt darstellen:

${\begin{aligned}{\vec {v}}_{1}^{2}&=(a\cos(t)+e)^{2}+(b\sin(t))^{2}\\[0.3em]{\vec {v}}_{2}^{2}&=(a\cos(t)-e)^{2}+(b\sin(t))^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\vec {n}}{\vec {v}}_{1}&=\cos(t)/a\cdot (a\cos(t)+e)+\sin(t)/b\cdot b\sin(t)=1+e\cos(t)/a\\[0.3em]{\vec {n}}{\vec {v}}_{2}&=\cos(t)/a\cdot (a\cos(t)-e)+\sin(t)/b\cdot b\sin(t)=1-e\cos(t)/a\end{aligned}}$

Im folgenden Produkt entsteht durch das obere Vorzeichen je eines Doppelvorzeichens das Produkt $({\vec {n}}{\vec {v}}_{1})^{2}{\vec {v}}_{2}^{2}$, durch das untere das Produkt $({\vec {n}}{\vec {v}}_{2})^{2}{\vec {v}}_{1}^{2}$. Zu zeigen ist, dass der Wert des Produkts nicht davon abhängt, ob von beiden Doppelvorzeichen das jeweils obere oder aber das jeweils untere gewählt wird.

${\begin{aligned}&(1\pm e\cos(t)/a)^{2}((a\cos(t)\mp e)^{2}+(b\sin(t))^{2})\\[0.5em]=&(1/a^{2})(a\pm e\cos(t))^{2}(a^{2}\cos ^{2}(t)\mp 2ae\cos(t)+e^{2}+b^{2}\sin ^{2}(t))\\[0.5em]=&(1/a^{2})(a\pm e\cos(t))^{2}(a^{2}\cos ^{2}(t)\mp 2ae\cos(t)+(a^{2}-b^{2})(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t))+b^{2}\sin ^{2}(t))\\[0.5em]=&(1/a^{2})(a\pm e\cos(t))^{2}(a^{2}\mp 2ae\cos(t)+(a^{2}-b^{2})\cos ^{2}(t))\\[0.5em]=&(1/a^{2})(a\pm e\cos(t))^{2}(a\mp e\cos(t))^{2}\end{aligned}}$

q.e.d.