Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnensatz

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
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Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
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Sehnensatz[Bearbeiten]

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt , so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Sehnensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne als beziehungsweise und die andere Sehne beziehungsweise , so gilt:

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:


Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks mit dem Diagonalenschnittpunkt gilt:

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!


Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die und sind ähnliche Dreiecke denn:

1) Die Scheitelwinkel in sind gleich groß

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ergibt

beziehungsweise Sehne ergibt


ähnliche Dreiecke


daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung


und umgewandelt


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