Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Sekantensatz[Bearbeiten]

Der Sekantensatz sagt: Schneiden zwei Sekanten einander außerhalb des Kreises in einem Punkt , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß.

Sekantensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten die sich in einem Punkt außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als beziehungsweise und der anderen Sekante als beziehungsweise so gilt:

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:


Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die und sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Gemeinsamer Winkel in Punkt

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ergibt

ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

und umgewandelt


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