Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Sekantensatz

Der Sekantensatz sagt: Schneiden zwei Sekanten einander außerhalb des Kreises in einem Punkt $P$, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß.

Sekantensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten die sich in einem Punkt $P$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als $A$ beziehungsweise $D$ und der anderen Sekante als $B$ beziehungsweise $C$ so gilt:

${\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

${\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}$

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die $\bigtriangleup {APC}$ und $\bigtriangleup {BPD}$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Gemeinsamer Winkel $\varphi \,$ in Punkt $P$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ${\overline {AB}}$ ergibt $\gamma _{1}=\delta _{1}\,$

$\triangle APC\sim \triangle BPD$ ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

${\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}$

und umgewandelt

${\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}$

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