Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Fünfeck

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Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Fünfeck[Bearbeiten]

Regelmäßiges Fünfeck (Pentagon)[Bearbeiten]

5-eck.png

Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)[Bearbeiten]

Im Mittelpunkt

(1)     Mittelpunktswinkel

Winkelsumme im gleichschenkligen

(2)  

(2a)  

(2b)     Innenwinkel im Fünfeck

Winkelsumme im gleichschenkligen

(2c)  

(2d)  

im Winkel

(3a)  

(3b)

im gleichschenkligen

(4)  

(4a)  


Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)[Bearbeiten]

Die und sind ähnlich, weil die Winkel in Punkt und

und die Winkel in Punkt und

gleich sind

(5)  

(6)  

(6a)  

(6b)  

(6c)  

(6d)  


Diagonale[Bearbeiten]

(6) bis (6d) in (5) eingesetzt

(7)  

(7a)  

(7b)  

Lösung der quadratischen Gleichung

(8a)  

(8b)     Diagonale

Höhe[Bearbeiten]

Die Höhe des Fünfecks:

(9)  


ist rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(9a)  

(9b)  

(8b) einsetzen:

(9c)  

(9d)  

(9e)    Höhe

Inkreisradius[Bearbeiten]

Es gilt:

(10)  

(11)  

ist auch rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls:

(12)  

(12a)  

(12a) in (11) eingesetzt

(13)  

(13a)  

quadriert

(13b)  

(13c)  

(14)     Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14a)  


(14b)     Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14c)  

(14d)  


(14e)     Inkreisradius

Umkreisradius[Bearbeiten]

(14b) in (12) eingesetzt

(15a)  

(15b)    Umkreisradius

in anderer Umformung (15b) erweitert

(15c)    Umkreisradius

in anderer Umformung (15a) erweitert

(15d)  

(15e)   Umkreisradius

Fläche[Bearbeiten]

(17)  

(14d) in (17) eingesetzt

(17a)  


(17b)     Fläche

oder (14e) in (17) eingesetzt

(17c)  


(17d)     Fläche

Sonstiges[Bearbeiten]

aus (14b) und (15c)

(18)  

aus (17d) und Umkreisfläche

(19)  

erweitert

(19a)  

(19b)  

(19c)  

(19d)  

(19e)  

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