Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck

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Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck[Bearbeiten]

Beweis 1[Bearbeiten]

Sehnenviereck.PNG

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel .

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

Winkelsumme im

Umfangswinkel über Sehne (sind gleich)

Umfangswinkel über Sehne (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

mit

Analog gilt für


Beweis 2[Bearbeiten]

Sehnenviereck-3.png

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel .

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

ergänzen.


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