Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Dreieck

Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie

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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron

Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz

Umkreisradius

Nach Pythagoras ist

(1)   $r_{i}^{2}=r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

und

(2)   $a^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+\left({r_{o}+r_{i}}\right)^{2}$

(2a)   ${\frac {3}{4}}a^{2}=r_{o}^{2}+2r_{o}r_{i}+r_{i}^{2}$

(1) in (2a) eingesetzt ergibt

(3)   ${\frac {3}{4}}a^{2}=r_{o}^{2}+2r_{o}{\sqrt {r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}+r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$

(3a)   $a^{2}-2r_{o}^{2}=2r_{o}{\sqrt {r_{o}^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$

(3a) quadriert

(4)   $a^{4}-4a^{2}r_{o}^{2}+4r_{o}^{4}=4r_{o}^{4}-a^{2}r_{o}^{2}$

(4a)   $a^{4}=3a^{2}r_{o}^{2}$

(4b)   $r_{o}^{2}={\frac {a^{2}}{3}}$

(4c)   $r_{o}={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$   Umkreisradius

Inkreisradius

(4c) in (1) eingesetzt

(5)  $r_{i}^{2}={\frac {a^{2}}{3}}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {a^{2}}{12}}$

(5a)   $r_{i}={\frac {a}{\sqrt {12}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$   Inkreisradius

Die Division von (4c) durch (5a) zeigt

(5b)   ${\frac {r_{o}}{r_{i}}}=2$

Höhe

(6)  $h=r_{o}+r_{i}\,=3r_{i}$

und nach Pythagoras

(7)   $h^{2}=a^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}={\frac {3}{4}}a^{2}$

(7a)   $h={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$   Höhe

Fläche

(8)   $A={\frac {ah}{2}}$

(7a) eingesetzt

(8a)   $A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$   Fläche

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