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Sinussatz

In jedem Dreieck gilt:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Beweis:

(1a)  ${\frac {h_{c}}{b}}=\sin \alpha$

(2a)  $h_{c}=b\cdot \sin \alpha$

und

(1b)  ${\frac {h_{c}}{a}}=\sin \beta$

(2b)   $h_{c}=a\cdot \sin \beta$

(2a) und (2b) gleich gesetzt

(3)   $b\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$

oder

(4a)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$

analog gilt damit der Sinussatz für alle drei Seiten und Winkel

(4b)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

oder auch

(5)   $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$

1. Ergänzung:

Diese Ergänzung gehört zwar nicht direkt zum Sinussatz, aber:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

wobei $R$ der Radius des Umkreises des Dreiecks ist.

1. Beweis:

(2.1) ${\frac {c}{2R}}=\sin {\frac {\varphi }{2}}$

weil der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel ist (hier ${\frac {\varphi }{2}}=\gamma$) ist auch

(2.2)  ${\frac {c}{2R}}=\sin \gamma$

oder

(2.3)   ${\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

also ist analog auch

(2.4)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

2. Beweis

Weil alle Umfangswinkel über einer Sehne (hier ${\overline {AB}}$) gleich groß sind ist

(3.1)   $\gamma _{1}=\gamma$

Nach dem Satz des Thales ist der Umgangswinkel über einer Sehne die der Durchmesser ist (hier ${\overline {BD}}$) ein rechter Winkel.

(3.2)   $\varphi =90^{0}$

(3.3)   ${\overline {BD}}=2R$

(3.4)   $\sin \gamma _{1}={\frac {c}{2R}}=\sin \gamma$

umgewandelt

(3.5)   ${\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

also ist analog auch

(3.6)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

2. Ergänzung:

Diese Ergänzung gehört zwar auch nicht direkt zum Sinussatz, aber mit $A$ als Dreiecksfläche ist:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2A}}$

Daraus mit (3.6)

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R={\frac {abc}{2A}}$

Beweis:

Die Dreiecksfläche ist nach der ersten Skizze

(4.1)   $A={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$

weiter ist

(4.2)   $h_{c}=b\cdot \sin \alpha$

nach (3.6) ist

(4.3)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R$

(4.4)   $\sin \alpha ={\frac {a}{2R}}$

in (4.2) eingesetzt

(4.5)   $h_{c}={\frac {b\cdot a}{2R}}$

in (4.1) eingesetzt

(4.6)   $A={\frac {c\cdot b\cdot a}{2\cdot 2R}}$

oder

(4.7)   $A={\frac {abc}{4R}}$

umgewandelt

(4.8)   $2R={\frac {abc}{2A}}$

und damit

(4.9)   ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R={\frac {abc}{2A}}$

Wikipedia-Verweise

Sinussatz