Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel
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- Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
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Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel[Bearbeiten]
Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel ist:
(Siehe Skizze rechts)
Das ist ein gleichschenkliges Dreieck da ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:
Winkelsumme im Dreieck:
Winkel der Geraden :
eingesetzt ergibt sich:
Für das gilt dasselbe, so dass analog gilt:
und damit:
Da der Punkt beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich sind.
Sonderfall[Bearbeiten]
Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich , also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.
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