Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel[Bearbeiten]

Mittelpunktswinkel.PNG

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das ist ein gleichschenkliges Dreieck da ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:


Winkelsumme im Dreieck:


Winkel der Geraden :


eingesetzt ergibt sich:


Für das gilt dasselbe, so dass analog gilt:


und damit:


Da der Punkt beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne gleich sind.


Sonderfall[Bearbeiten]

Satz des Thales

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich , also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.


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