Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus

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Beweisarchiv: Geometrie

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Satz des Ptolemäus[Bearbeiten]

Satz des Ptolemäus, vier Punkte in der Ebene, rechts ein sogenanntes Sehnenviereck

Für vier Punkte in der Ebene gilt

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.

Insbesondere gilt: Ist ein Sehnenviereck, so ist die Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen, als Formel

mit

Beweis mit komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Wir identifizieren Punkte mit komplexen Zahlen, die zu beweisende Ungleichung lautet dann

Der Betrag ist multiplikativ, also ist dies dasselbe wie

In dieser Form folgt die behauptete Ungleichung direkt aus der Dreiecksungleichung

Für die Bestimmung des Gleichheitsfalles nehmen wir o.B.d.A. an, dass gilt. Die Ungleichung wird dann zu

Ist ein weiterer der Punkte null, so tritt offenbar der Gleichheitsfall ein; andernfalls kann man durch teilen und erhält

Gleichheit tritt somit genau dann ein, wenn in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen.

Die Abbildung ist die Verkettung der Inversion am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse. Es gibt nun zwei verschiedene Fälle:

  • enthält den Ursprung: In diesem Fall ist das Bild einer Ursprungsgeraden , und in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf .
  • enthält den Ursprung nicht: In diesem Fall ist das Bild eines Kreises , und liegen in dieser Reihenfolge auf .

Weblinks[Bearbeiten]

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Sehnenviereck · Inversion


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