Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Satz des Ptolemäus

Für vier Punkte $A,B,C,D$ in der Ebene gilt

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $A,B,C,D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.

Insbesondere gilt: Ist $ABCD$ ein Sehnenviereck, so ist die Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen, als Formel

a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f

mit

a={\overline {AB}},b={\overline {BC}},c={\overline {CD}},d={\overline {DA}},e={\overline {AC}},f={\overline {BD}}.

Beweis mit komplexen Zahlen

Wir identifizieren Punkte mit komplexen Zahlen, die zu beweisende Ungleichung lautet dann

|A-B|\cdot |C-D|+|B-C|\cdot |A-D|\geq |A-C|\cdot |B-D|.

Der Betrag ist multiplikativ, also ist dies dasselbe wie

|AC-AD-BC+BD|+|AB-BD-AC+CD|\geq |AB-AD-BC+CD|.

In dieser Form folgt die behauptete Ungleichung direkt aus der Dreiecksungleichung

|u|+|v|\geq |u+v|.

Für die Bestimmung des Gleichheitsfalles nehmen wir o.B.d.A. an, dass $A=0$ gilt. Die Ungleichung wird dann zu

|BD-BC|+|CD-BD|\geq |CD-BC|.

Ist ein weiterer der Punkte null, so tritt offenbar der Gleichheitsfall ein; andernfalls kann man durch $|BCD|$ teilen und erhält

{\Big |}{\frac {1}{C}}-{\frac {1}{D}}{\Big |}+{\Big |}{\frac {1}{B}}-{\frac {1}{C}}{\Big |}\geq {\Big |}{\frac {1}{B}}-{\frac {1}{D}}{\Big |}.

Gleichheit tritt somit genau dann ein, wenn $1/B,1/C,1/D$ in dieser Reihenfolge auf einer Geraden $g$ liegen.

Die Abbildung $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ ist die Verkettung der Inversion am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse. Es gibt nun zwei verschiedene Fälle:

$g$ enthält den Ursprung: In diesem Fall ist $g$ das Bild einer Ursprungsgeraden $h$ , und $A,B,C,D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf $h$ .
$g$ enthält den Ursprung nicht: In diesem Fall ist $g$ das Bild eines Kreises $k$ , und $A,B,C,D$ liegen in dieser Reihenfolge auf $k$ .