Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Sinus

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Beweisarchiv: Geometrie

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Additionstheoreme (Sinus)[Bearbeiten]

Additionstheoreme1.png

Beweis für:


Im rechtwinkligen Dreieck ist

(1)  

Im rechtwinkligen Dreieck ist

(2)  

und

(3)  

Im rechtwinkligen Dreieck ist

(4.1) 

(3) eingesetzt

(4.2) 

(4.3) 


Zwischenbeweis:

Die Dreiecke und sind beide rechtwinklig
und deshalb sind Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0) 


Im rechtwinkligen Dreieck gilt

(5.1) 

(2) eingesetzt

(5.2) 

(5.3) 


(6.1) 

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2) 

in (1) eingesetzt

(7) 


Wenn Winkel negativ:

(8)  

(9a) 

und

(9b) 

eingesetzt in (8)

(10) 

(7) und (10) zusammengefasst

(11) 


Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei

(12) 

(13) 

Additionstheoreme (Sinus)[Bearbeiten]

Beweis für

Für den Beweis werden die Beziehungen

verwendet.

Es gilt:

Die Umformung zum vorletzten Schritt ist zulässig, da entweder oder auftritt.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Additionstheoreme