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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Additionstheoreme (Kotangens)

Beweis für:

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

Es gilt:

(1) $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}$

Nach den Additonstheoremen (Sinus) und (Kosinus)

(2.1) $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

(2.2) $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

in (1) eingestzt

(3) $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }}$

Zähler und Nenner durch $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ geteilt

(4.1) $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}{\frac {\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}}$

(4.2) $\cot(\alpha +\beta )={\frac {{\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta }{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}-1}{1\cdot {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}+1\cdot {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}}}$

mit $\cot ={\frac {\cos }{\sin }}$ eingesetzt

(5) $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}$

Wenn Winkel $\beta$ negativ:

(6) $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot(-\beta )-1}{\cot(-\beta )+\cot \alpha }}$

weil

(7) $\cot(-\beta )=-\cot \beta$

(8.1) $\cot(\alpha -\beta )={\frac {-\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{-\cot \beta +\cot \alpha }}$

Zähler und Nenner mal -1

(8.2) $\cot(\alpha -\beta )={\frac {-\cot \alpha \cdot \cot \beta -1}{-\cot \beta +\cot \alpha }}$

(5) und (8.2) zusammengefasst

(9) $\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme