Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: Homothetien und Translationen

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Beweisarchiv: Geometrie

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Innerhalb der Gruppe sei die Untergruppe derjenigen Automorphismen mit für alle Geraden .


Hilfssatz: ist Normalteiler von . Ist eine Gerade, so operiert auf kanonische Weise auf dem Parallelenbündel .

Beweis: Die kanonische Operation von auf induziert eine Operation auf der Menge der Parallelenbündel, da jeder Automorphismus parallele Geraden in parallele Geraden abbildet. ist gerade der Kern des zugehörigen Homomorphismus und somit Normalteiler. Hieraus folgt auch sofort, dass auf jedem Element von , d.h. auf jedem Parallelenbündel operiert.


Hilfssatz: Ist nicht die Identität, so hat höchstens einen Fixpunkt.

Beweis: Sei . Ist ein Fixpunkt, so ist jede Gerade durch Fixgerade: Aus und folgt .

Seien zwei verschiedene Fixpunkte. Sei beliebig. Gilt , so ist nach der gerade gezeigten Aussage eine Fixgerade. Gilt dagegen , so gibt es ein mit . Als Schnittpunkt der Fixgeraden und ist Fixpunkt. Damit ist auch Fixgerade. Folglich ist die identische Abbildung und somit die Identität.


Ist , so heißt die Gruppe der Homothetien mit Zentrum . Es ist klar, dass es sich um eine Gruppe handelt, nämlich den Stabilisator von unter der kanonischen Operation von auf .

Hilfssatz: Fixgeraden einer nichttrivialen Homothetie sind genau die durch das Zentrum verlaufenden Geraden.

Beweis: Sei . Ist eine nicht durch verlaufende Fixgerade und , so ist als Schnittpunkt der Fixgeraden und ein Fixpunkt. Es folgt, dass die Identität ist.


Hilfssatz: Gilt , so operiert treu auf .

Beweis: Zunächst operiert auf , da Fixgerade ist. Da die Bahn von nur aus selbst besteht, operiert auch auf , hier sogar treu, da nur die Identität weitere Fixpunkte hat.

Sei die Menge der fixpunktfreien Elemente von zusammen mit der Identität. heißt die Gruppe der Translationen.


Hilfssatz: Ist fixpunktfrei, so gilt für stets . Genau die Parallelen zu sind Fixgeraden.

Beweis: Die Gerade ist wegen und Fixgerade. Würde eine weitere Fixgerade schneiden, so wäre der Schnittpunkt Fixpunkt, also sind alle Fixgeraden zu parallel. Da für auch Fixgerade ist, folgt insbesondere . Ist , so wählen wir einen Punkt . Dann fällt mit der Fixgeraden zusammen.


Hilfssatz: ist eine Gruppe.

Beweis: Zunächst enthält die Identität und ist somit nicht leer.

Ist fixpunktfrei, so gilt dies auch für , so dass gegen Inversenbildung abgeschlossen ist.

Um zu zeigen, dass eine Untergruppe von ist, bleibt die Abgeschlossenheit zu zeigen. Sei also . Ist oder die Identität, so folgt sofort . Wir nehmen daher an, dass und fixpunktfrei sind und mindestens einen Fixpunkt hat.

Sei beliebig, , . Dann gilt (aber möglicherweise ). Es folgt , also . Alle Parallelen zu sind also fix sowohl unter als auch , somit auch unter . Mindestes eine hiervon, etwa , verläuft nicht durch . Ist ein auf liegender Punkt, so ist dieser als Schnittpunkt der beiden Fixgeraden und ein zweiter Fixpunkt. Somit ist die Identität und in der Tat .


Hilfssatz: operiert treu auf . Ist eine Gerade, so operiert deren Stabilisator treu auf .

Beweis: Klar, da nur die Identität Fixpunkte hat.


Hilfssatz: ist ein Normalteiler von . Ist eine Gerade, so ist ebenfalls Normalteiler von

Beweis: besteht genau aus denjenigen Elementen von , die auf dem Parallelenbündel zu trivial operieren, folglich . Da jedes Element von für geeignetes in einem liegt, folgt auch .

Desarguessche Ebenen[Bearbeiten]

Im Folgenden sei angenommen, dass der Satz von Desargues in der folgenden Form gilt:

Satz von Desargues: Seien sechs verschiedene Punkte. Die Geraden seien alle parallel ("uneigentlich zentralperspektiv") oder gehen alle durch einen gemeinsamen Punkt ("zentralperspektiv mit Zentrum "). Dann folgt aus und auch .

Dann ergeben sich weitere Schlussfolgerungen:

Hilfssatz: operiert transitiv auf . Für operiert transitiv auf .

Beweis: Seien zwei Punkte, . Wir suchen ein mit .

Definiere wie folgt:

  1. Für mit setze .
  2. Für mit setze .
  3. Für mit setze
  4. Für sonstige (also solche Geraden mit und ) wähle ein mit und setze .
  5. Für sonstige (also solche mit ) wähle eine von verschiedene Gerade mit und setze .

Zu zeigen ist als erstes, dass dies wohldefiniert ist. Zunächst besteht kein Konflikt zwischen 1 und 2, da beide definieren.

Die Definition unter 4 hängt nicht von der Wahl des Punktes ab: Sei ein weiterer Punkt mit und . Wegen 3 gilt , also sind die Dreiecke und uneigentlich zentralperspektiv. Aus und (beides wegen 1) folgt daher auch , also .

Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl der Geraden ab: Sei eine weitere Gerade, die in schneidet. Sei mit und mit . Mit sind dann die Dreiecke und uneigentlich zentralpersektiv. Aus und folgt dann auch , d.h. und schließlich .

Man beachte noch, dass aus 5 nach Wahl einer von verschiedenen Geraden durch sofort wie beabsichtigt folgt.

Als nächstes sei und mit . Zu zeigen ist, dass dann auch gilt. Im Fall ist dies aus 1 klar. Im Fall ergibt sich aus 2 , so dass die Behauptung aus 3 () bzw. 5 () folgt. Im Fall folgt die Aussage aus 3. Falls folgt die Behauptung aus 4. Falls schließlich folgt die Behauptung aus 5. Hiermit ist die Fallunterscheidung vollständig, d.h. ist zumindest ein Endomorphismus.

Wir erhalten einen weiteren Endomorphismus , wenn wir die Rollen von und vertauschen. Man überprüft wiederum fallweise unmittelbar, dass und ebenso die Identität ist. Folglich ist .

Wegen 1, 2, 4 gilt stets , so dass sogar gilt.

Da alle Parallelen zu Fixgeraden sind, kann keine nichttriviale Homothetie sein, ist also eine Translation, . Da Fixgerade ist, gilt sogar . Folglich operiert in der Tat transitiv auf und für jede Gerade auch transitiv auf .

Sind zwei Punkte, so bezeichnen die eindeutig bestimmte Translation, die auf abbildet, im Folgenden als .


Hilfssatz: ist abelsch.

Beweis: Seien zwei Translationen, sei beliebig, , .

Falls nicht kollinear sind, folgt und ebenso . Somit folgt . Hieraus ergibt sich bereits .

Es bleibt der Fall zu betrachten, dass alle auf einer Geraden liegen. Falls zwei dieser Punkte zusammenfallen, ist eine der Abbildungen die Identität und die Vertauschbarkeit trivialerweise erfüllt. Wir können die drei Punkte also als verschieden voraussetzen. Wähle mit . Es folgt, dass gilt. Dann sind nicht kollinear, so dass mit vertauscht. Ferner sind wegen nicht kollinear, so dass auch mit vertauscht. Folglich ist .


Hilfssatz: Ist , so operiert transitiv auf .

Beweis: Seien zwei Punkte, . Wir suchen ein mit .

Definiere wie folgt:

  1. Setze .
  2. Für mit setze .
  3. Für mit setze .
  4. Für mit setze .
  5. Für mit wähle mit und setze .
  6. Für mit wähle mit und und setze .

Zunächst ist zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Zwischen 2 und 3 besteht kein Konflikt, da im Fall beide Varianten ergeben. Zwischen 2 und 5 besteht kein Konflikt, denn wegen 4 liegt für jedes gewählte auf jeden Fall auch auf , so dass sich wie bei 2 ebenfalls ergibt. Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl von ab: Ist auch und , so sind die Dreiecke und zentralperspektiv mit Zentrum . Wegen 3 und 4 ist und , nach dem Satz von Desargues also auch . Es folgt .

Die Definition unter 6 hängt nicht von der Wahl der Geraden ab: Ist eine weitere Gerade mit und , so

Dann besteht aber auch kein Konflikt zwischen 4 und 6, da wir im Falle ja wählen können.

Folglich ist wohldefiniert.

Insbesondere ergibt sich aus 3 und 6 wie gewünscht .

Analog zum entsprechenden Beweis für Translationen weist man nach, dass ein Endomorphismus ist und dass durch Vertauschen von und sich ein inverser Endomorphismus ergibt, d.h. es gilt .

Aus 2, 3, 5 ergibt sich jeweils , so dass folgt. Wegen folgt sogar .

Sind kollinear und , so wird die eindeutig bestimmte Homothetie mit Zentrum , die auf abbildet, im Folgenden mit bezeichnet.


Hilfssatz: Ist so ist eine abelschen Gruppe, wenn man für definiert. operiert auf .

Beweis: Die Abbildung ist eine Bijektion mit Umkehrabbildung . Wegen ist dies auch ein Gruppoid-Homomorphimus.

Dass auf dieser Gruppe operiert, folgt unmittelbar aus .


Hilfssatz: Schneiden sich die Geraden und in 0 und ist , so ist die Abbildung ein Homomorphismus von abelschen Gruppen und mit der Operation von verträglich.

Beweis: Ist und sind die Parallelen zu durch , so folgt . Wegen ist , also und ebenso , folglich der Schnittpunkt von mit ist, also .


Satz: Ist und sind , , , zwei auf ihr liegende Punkte, so wird zu einem Schiefkörper, wenn man für definiert

  • ,
  • , sofern ,
  • .

Bis auf Isomorphie ist der Schiefkörper nicht von der Wahl von , 0 und 1 abhängig.

Beweis: Dass eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, wurde oben gezeigt. Auf dieselbe Art sehen wir aus der Bijektion , dass eine Gruppe mit neutralem Element 1 ist.

Sei . Da auf operiert, gilt für stets , d.h. die Multiplikation ist von links distributiv über die Addition (im Fall trivialerweise).

Sei wieder , eine weitere Gerade durch 0 und , . Die Parallelen zu induzieren einen Isomorphismus , die Parallelen zu einen Isomorphismus . Insgesamt ergibt sich ein Automorphismus von , der abbildet. Ist mit , so ergibt sich (das Dreieck wird homothetisch auf abgebildet) sowie trivialerweise , d.h. ist die Rechtsmultiplikation mit . Es folgt, dass die Multiplikation auch von rechts distributiv ist.

Somit ist ein Ring und, da alle invertierbar sind, sogar ein Schiefkörper.

Die Unabhängigkeit von der Wahl von , 0, 1 ist nur eine Folge folgender Tatsachen:

  • Für gilt , weil transitiv auf operiert.
  • Für sich schneidende Geraden gilt nach dem vorhergehenden Hilfssatz und für parallele wieder wegen der Transitivität von .