Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Tangentenviereck

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Tangentenviereck

Ein Trapez ist dann ein Tangentenviereck wenn:

1. $AE+CF=AF+CE$

2. $BE+BF=DE+DF$

Beweis am rechten Tangentenviereck. Für das linke Tangentenviereck man die spiegelbildlichen Bezeichnungen einzusetzen.

Beweis zu 1.:

(1.1) $AE=e+f+s$

(1.2) $CF=v$

(1.3) $AF=e+h+u$

(1.4) $CE=t$

$AE+CF=AF+CE$ (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1) $e+f+s+v=e+h+u+t$

(2.2) $f+s+v=h+u+t$

(3.1) $f+s=t+g$ und (3.2) $h+u=v+g$ siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3) $t+g+v=v+t+g$

also ist $AE+CF=AF+CE$

Beweis zu 2.:

(1.1) $BE=s$

(1.2) $BF=f+g+v$

(1.3) $DE=h+g+t$

(1.4) $DF=u$

$BE+BF=DE+DF$ (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1) $s+f+g+v=h+g+t+u$

(2.2) $s+f+v=h+t+u$

(3.1) $f+s=t+g$ und (3.2) $h+u=v+g$ siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3) $t+g+v=v+g+t$

also ist $BE+BF=DE+DF$