Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Satz des Heron

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Beweisarchiv: Geometrie

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Satz des Heron[Bearbeiten]

Cossatz-01.png

Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist mit den Seitenlängen ist

worin der halbe Umfang des Dreiecks ist

Beweis über die Dreiecksfläche:[Bearbeiten]

Die Dreiecksfläche ist

(1)  

nach dem Satz des Pythagoras

(2)  

und

(3)  

(2) und (3) gleichgesetzt

(4.1)  

(4.2)  

aufgelöst nach

(5)  

Formel (2) nach der 3. binomischen Formel

(6)  

Formel (5) eingesetzt

(7.1)  

(7.2)  

umgestellt

(7.3)  

2. und 1. binomische Formel angewendet

(7.4)  

3. binomische Formel angewendet

(7.5)  

(7.6)  

Formel (1) quadriert und Formel (7.6) eingesetzt

(8.1)  

(8.2)  

etwas umgestellt

(8.3)  

mit dem halben Umfang

(9)  

und

(9.1)  

und

(9.2)  

und

(9.3)  

Formel (9), (9.1), (9.2), (9.3) in Formel (8.3) eingesetzt

(10)  

oder

(11)  


Beweis mit dem Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

(1.1)  

und

(1.2)  

Subtraktion ergibt

(2)  

aufgelöst nach

(3)  

nach Pythagoras ist

(4)  

nach der 3. binomischen Formel

(5)  

(3) in (5) eingesetzt

(6)  

umgewandelt

(7)  

2. und 1. binomische Formeln angewandt

(8)  

3. binomische Formel angewandt

(9)  

ist der halbe Umfang des Dreiecks

(10)  

(11.1)  

(11.2)  

(11.3)  

(11.4)  

(11) in (9) eingesetzt und neu geordnet

(12.1)  

(12.2)  

duch 16 geteilt

(13)  

die Dreiecksfläche ist

(14)  

quadriert

(15)  

daraus ergibt sich der Flächeninhalte des Dreicks

(16)  


Beweis mit dem Kosinussatz[Bearbeiten]

Abbildung und Bezeichnungen siehe Skizze oben.

(1)  

(2)  

(3)  

nach dem Kosinussatz gilt

(4)  

aufgelöst nach

(5)  

nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt

(6)  

(5) in (6) eingesetzt und erweitert

(7.1)  

(7.2)  

nach dem 3. binomischen Lehrsatz

(8)  

nach dem 2. und 1. binomischen Lehrsatz

(9)  

nach dem 3. binomischen Lehrsatz

(10)  

ist der halbe Umfang des Dreiecks

(11)  

(12.1)  

(12.2)  

(12.3)  

(12.4)  

(12) in (10) eingesetzt und neu geordnet

(13)  

(14)  

(14) in (3) eingesetzt

(15)  

(16)