Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Satz des Heron

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
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Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
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Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
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Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Satz des Heron[Bearbeiten]

Cossatz-01.png

Die Fläche eines beliebigen Dreiecks ist mit den Seitenlängen ist

worin der halbe Umfang des Dreiecks ist

Beweis:

Die Dreiecksfläche ist

(1)  

nach Pythagoras

(2)  

und

(3)  

(2) und (3) gleichgesetzt

(4.1)  

(4.2)  

aufgelöst nach

(5)  

Formel (2) nach der dritten binomischen Formel

(6)  

Formel (5) eingesetzt

(7.1)  

(7.2)  

umgestellt

(7.3)  

zweite und erste binomische Formel angewendet

(7.4)  

dritte binomische Formel angewendet

(7.5)  

(7.6)  

Formel (1) quadriert und Formel (7.6) eingesetzt

(8.1)  

(8.2)  

etwas umgestellt

(8.3)  

mit dem halben Umfang

(9)  

und

(9.1)  

und

(9.2)  

und

(9.3)  

Formel (9), (9.1), (9.2), (9.3) in Formel (8.3) eingesetzt

(10)  

oder

(11)