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Trigonometrie

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist $g_{1}\|g_{2}$ und $g_{2}\|g_{3}$ und nimmt man an, dass $g_{1}\nparallel g_{3}$ , so schneiden sich $g_{1}$ und $g_{3}$ in einem Punkt $p$ . Dann ist jedoch sowohl $g_{1}$ als auch $g_{3}$ die eindeutig bestimmte Parallele zu $g_{2}$ durch $p$ . Folglich ist Parallelität auch transitiv.

Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden $ab$ und $ac$ haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch $a$ gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden $g=\operatorname {par} (ab,c)$ und $h=\operatorname {par} (ac,b)$ nicht parallel. Sei $d$ ihr Schnittpunkt. Wäre $d=a$ , so folgte $g=ab$ wegen $g\|ab$ und $a\varepsilon g$ . Da dann $a,b,c$ kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man $d\neq b$ und $d\neq c$ .

Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei $p$ ein beliebiger Punkt und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden $ab,ac,bc$ paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch $p$ verschieden.

Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei $g$ eine beliebige Gerade und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden $ab$ , $ac$ , $bc$ ist parallel zu $g$ . Sei also oBdA. $ab\nparallel g$ . Es folgt auch $\operatorname {par} (ab,c)\nparallel g$ . Somit geht $g$ durch die beiden Punkte $g\wedge ab$ und $g\wedge \operatorname {par} (ab,c)$ . Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst $c\varepsilon ab$ folgen würde.

Hilfssatz: Ist $\phi$ ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

$\phi$ ist die Identität.
$\phi _{P}$ ist die Identität.
$\phi _{G}$ ist die Identität.

Beweis: $1\Rightarrow 2$ , $1\Rightarrow 3$ und $(2\land 3)\Rightarrow 1$ sind klar.

Weiter gilt $2\Rightarrow 3$ : Ist nämlich $g\in G$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte $a,b\in P$ mit $a\varepsilon g$ und $b\varepsilon g$ . Mit 2 folgt auch $a\varepsilon \phi _{G}(g)$ und $b\varepsilon \phi _{G}(g)$ , so dass sich $\phi (g)=g$ ergibt.

Schließlich gilt auch $3\Rightarrow 2$ : Ist $p\in P$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden $g,h\in G$ mit $p=g\wedge h$ . Es folgt wegen 3 dann aber auch $\phi _{P}(p)\varepsilon g$ und $\phi _{P}(p)\varepsilon h$ , d.h. $\phi _{P}(p)=p$ .

Hilfssatz: Ist $\phi$ ein Automorphismus, so folgt aus $g\|h$ stets auch $\phi _{G}(g)\|\phi _{G}(h)$ .

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung.