Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: einfache Hilfssätze

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Beweisarchiv: Geometrie

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Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist und und nimmt man an, dass , so schneiden sich und in einem Punkt . Dann ist jedoch sowohl als auch die eindeutig bestimmte Parallele zu durch . Folglich ist Parallelität auch transitiv.


Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden und haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden und nicht parallel. Sei ihr Schnittpunkt. Wäre , so folgte wegen und . Da dann kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man und .


Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei ein beliebiger Punkt und seien drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch veschieden.


Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei eine beliebige Gerade und seien drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden , , ist parallel zu . Sei also oBdA. . Es folgt auch . Somit geht durch die beiden Punkte und . Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst folgen würde.


Hilfssatz: Ist ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. ist die Identität.
  2. ist die Identität.
  3. ist die Identität.

Beweis: , und sind klar.

Weiter gilt : Ist nämlich beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte mit und . Mit 2 folgt auch und , so dass sich ergibt.

Schließlich gilt auch : Ist beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden mit . Es folgt wegen 3 dann aber auch und , d.h. .


Hilfssatz: Ist ein Automorphismus, so folgt aus stets auch .

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung.