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Trigonometrie

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Additionstheoreme (Tangens)[Bearbeiten]

Beweis für:

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \ \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }}$

Es gilt:

(1) $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}$

Nach den Additonstheoremen (Sinus) und (Kosinus)

(2.1) $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

(2.2) $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

in (1) eingestzt

(3) $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }}$

Zähler und Nenner durch $\cos \alpha \cdot \cos \beta$ geteilt

(4.1) $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\frac {\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}{\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}$

(4.2) $\tan(\alpha +\beta )={\frac {{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\cdot 1+1\cdot {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}{1-{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}}$

mit $\tan ={\frac {\sin }{\cos }}$ eingesetzt

(5) $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }}$

Wenn Winkel $\beta$ negativ:

(6) $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \cdot \tan(-\beta )}}$

weil

(7) $\tan(-\beta )=-\tan \beta$

(8) $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }}$

(5) und (8) zusammengefasst

$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\tan \left(\alpha \right)\pm \tan \left(\beta \right)}{1\mp \tan \left(\alpha \right)\cdot \tan \left(\beta \right)}}$

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Additionstheoreme