Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Satz von Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrates.

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c ist die Summe der Flächen a² und b² der Kathetenquadrate gleich der Fläche c² des Hypotenusenquadrates.

Es ist zu beachten, dass unten stehende Beweise nur einen Bruchteil der über hundert bekannten Beweisvarianten darstellen!

Geometrischer Beweis[Bearbeiten]

Satz des Pythagoras
Geometrischer Beweis

In ein großes Quadrat mit der Seitenlänge (Hypothenuse) sind vier rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen, senkrecht aufeinander stehenden Seiten und (Katheten) wie in der Skizze eingezeichnet. Die Kantenlänge des kleinen Quadrats in der Mitte ist . Die Fläche für das kleine Quadrat ist somit .

Die Fläche des großen Quadrats setzt sich aus den Flächen der vier Dreiecke (jeweils ) und der des Quadrats in der Mitte zusammen.

Daraus ergibt sich wie folgt:

und damit der Satz des Pythagoras:

q.e.d

Heronsche Formel Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Es lässt sich zeigen, dass die heronsche Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind.

Satz des Pythagoras Heronsche Formel[Bearbeiten]

Der Beweis geht in Anlehnung an Fraedrich und Lambacher-Schweizer wie folgt:[1][2]

Satz des Pythagoras Heronsche Formel

Für ein gegebenes Dreieck nehme man ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Seitenlängen und sowie seien und dass dabei die Ungleichungen gelten mögen.

Weiter sei der Fußpunkt der Höhe vom Eckpunkt auf die Seite .

Schließlich sei und

Damit hat man zunächst

.

Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gelten dann die beiden folgenden Identitäten:

und

.

Daraus ergibt sich unter Anwendung der dritten binomischen Formel

und weiter

.

Also schließt man weiter

und daraus dann

  .

Dies ergibt

  .

Hinsichtlich der Dreiecksfläche bedeutet dies

  .

Nun wird die Gleichung

benutzt und man erhält mittels elementarer Algebra

  .

Also gilt insgesamt

  .

q.e.d

Heronsche Formel Satz des Pythagoras[Bearbeiten]

Man erhält den Satz des Pythagoras auch direkt aus der heronschen Formel, und zwar auf rein algebraischem Wege.

Dabei stellt man in Rechnung, dass es für den Flächeninhalt , wenn es ein rechtwinkliges Dreiecks ist, zwei Darstellungen gibt!

Denn man hat einerseits offenbar

.

Anderseits jedoch gilt nach Heron

mit

  .

Also folgt nacheinander und unter Benutzung der binomischen Formeln

und daraus

  .

Folglich gilt auch

und weiter

und schließlich

.

q.e.d

Hintergrundliteratur[Bearbeiten]

  • Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (Reihe Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, Bd. 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1.
  • Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.


Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras 1994, S. 324
  2. Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2 1965, S. 99-100