Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

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Diagonalendreieck im Quader

Gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen     .

In diesem Quader werden die Diagonalen von drei an einer gewissen Ecke - etwa     - zusammenstoßenden Seitenrechtecken in einem zusammenhängenden Streckenzug so verbunden, dass die davon umfassten Punkte ein Dreieck     bilden, das ganz in dem Quader enthalten ist, dessen Ecken     zugleich Ecken des Quaders sind und welches der Ecke     derart gegenüberliegt, dass die so entstehende geometrische Figur     eine Pyramide darstellt.

Dieses Dreieck     soll im Folgenden kurz als Diagonalendreieck bezeichnet werden.

Es ist nun die Aufgabe, eine Formel für den Flächeninhalt     dieses Diagonalendreiecks     in Anhängigkeit von den Seitenlängen zu bestimmen.

Diese Formel lässt sich bestimmen unter Benutzung der Formel des Heron und aufgrund der Tatsache, dass die Seitenlängen von     nach dem Satz des Pythagoras offenbar wie folgt von den Seitenlängen abhängen:


Also hat man zusammen mit der Identität

zunächst

  .

Durch Einsetzen ergibt sich dann

und weiter

  .

Also folgt schließlich

  .


q.e.d


Dieser Beweis lässt sich mit Hilfe der obigen Skizze Diagonalendreieck im Quader gut nachvollziehen.

Hat der gegebene Quader z. B. eine quadratische Grundfläche mit einer Kantenlänge und eine Höhe mit der Länge , ergibt sich das Diagonalendreieck als gleichschenkliges Dreieck mit und .

I

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks in Flächeneinheiten [FE] auf die herkömmliche Weise:

zunächst ist die Höhe nach dem Satz des Pythagoras zu bestimmen
durch Umformen ergibt sich
nach dem Einsetzen der Werte für und in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist
  .
II

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks in Flächeneinheiten [FE] nach der oben bestimmten allgemeinen Formel:

nach dem Einsetzen der Werte für , und ergibt sich
III

Der Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt:

.