Beschreibung

Beschreibung01 Würfelverdoppelung-5.svg	Deutsch: Würfelverdoppelung, Näherungskonstruktion English: Doubling the cube, approximation construction
Datum	1. Juni 2022
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius ${\displaystyle |OA|=1=a_{1}}$ um ${\displaystyle O}$ und dem Einzeichnen des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Als Nächstes wird die dazu senkrecht stehende Mittelachse ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |OA|}$ um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle E'}$ bzw. ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle F'}$. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte zwischen ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E'}$ halbiert den Kreisbogen ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. Das Lot von ${\displaystyle G}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {OD}}}$ trifft diese im Punkt ${\displaystyle H}$. Der Punkt ${\displaystyle I}$ ergibt sich als Schnittpunkt der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten zwischen ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle F'}$ mit dem Kreis.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes ${\displaystyle |IF'|}$ ab ${\displaystyle E}$; dabei erhält man ${\displaystyle J}$ als Schnittpunkt mit dem Kreis. Das Lot von ${\displaystyle J}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ trifft diese im Punkt ${\displaystyle K}$. Der Punkt ${\displaystyle L}$ ergibt sich als Schnittpunkt der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten zwischen ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle F}$ mit dem Kreis. Die abschließende Verbindungstrecke ${\displaystyle {\overline {AL}}}$ schneidet ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ in ${\displaystyle M}$ und liefert somit die Strecke ${\displaystyle {\overline {AM}}}$, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ist.

Ergebnis

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Länge der Strecke }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1{,}259921049894873\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1{,}259921049894873\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}}$

Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler evaluierbar.

Somit liegt die Vermutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfel 2 vermutlich < 0,7 dm³ oder < 1  Liter.

Externe Links

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: A pretty accurate solution to the Delian problem, in Parabola 59, 1, 2023, UNSW Sydney S. 1–5

Approximation construction

Construction description

It starts with the (Unit_circle) with radius ${\displaystyle |OA|=1=a_{1}}$ around ${\displaystyle O}$ and drawing in the diameter ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Next, the centre axis ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ perpendicular to it is entered. This is followed by an arc of radius ${\displaystyle |OA|}$ around ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$; the intersections are ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle E'}$ or ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle F'}$. An undrawn perpendular bisector between ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle E'}$ bisects the arc ${\displaystyle OE'D}$ in ${\displaystyle G}$. The perpendicular from ${\displaystyle G}$ to the line segment ${\displaystyle {\overline {OD}}}$ meets it at the point ${\displaystyle H}$. The point ${\displaystyle I}$ results from the intersection of the undrawn median perpendicular between ${\displaystyle H}$ and ${\displaystyle F'}$ with the circle.

Continue by transferring the distance ${\displaystyle |IF'|}$ from ${\displaystyle E}$; this gives ${\displaystyle J}$ as the intersection with the circle. The perpendicular from ${\displaystyle J}$ to the line segment ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ meets it at the point ${\displaystyle K}$. The point ${\displaystyle L}$ results from the intersection of the not drawn median perpendicular between ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle F}$ with the circle. The final connecting line segment ${\displaystyle {\overline {AL}}}$ intersects ${\displaystyle {\overline {OC}}}$ in ${\displaystyle M}$ and thus yields the line segment ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ whose length is almost equal to the nominal value ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

Result

A maximum of 15 decimal places are displayed in GeoGebra.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{length of the line constructed in GeoGebra }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1.259921049894873\;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\-{\text{setpoint }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1.259921049894873\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\\\hline {\text{absolute error in GeoGebra not evaluable }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {unit\;of\;length} ]\end{alignedat}}}$

Example to illustrate the absolute error

With a cube 1 with the edge length a₁ = 1 billion km (the light would need for this distance approx. 56 min.) the constructed edge length would be a₂ of doubled cube 2 no error evaluable.

It is therefore reasonable to assume that the absolute error is < 1 mm.

• Given a cube 1 with edge length a₁ = 10 km the error of the volume of doubled cube 2 would probably be < 0,7 dm³ or < 1  liter.

External links

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: A pretty accurate solution to the Delian problem, in Parabola 59, 1, 2023, UNSW Sydney S. 1–5

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