MathemaTriX ⋅ Theorie nach Thema. Geometrische Konstruktionen

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Julia0bb.jpg

DEINE FESTE BEGLEITERIN
FÜR DIE SCHULMATHEMATIK
EINFACH
VERSTÄNDLICH
AUFBAUEND
GRATIS!*
UND SYMPATHISCH

JETZT STARTEN!
Faenza-video-x-generic.svgMap icons by Scott de Jonge - accounting.svgMIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGSVIDEOS!
Cycling (road) pictogram.svg Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.
AUFGABEN
KAPITEL
SchlusselProzent2.svg
E-to-the-i-pi.svg
Bellcurve.svg
01 Siebeneck-Archimedes-Beweis.svg
Pythag.gif
LAGEOS-NASA.jpg
Homew2 4.svg

Latitude and longitude graticule on a sphere.svg

חיסור וחיבור וקטורים מרובים05.5.svg


Dreieckskonstruktionen[Bearbeiten]

Dreieckskonstruktionen Einführung[Bearbeiten]

Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

Konventionen

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a[1].

  1. Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).

SSS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SSS-1.svg
01-Dreieck-SSS-2.svg
01-Dreieck-SSS-3.svg
01-Dreieck-SSS-4.svg
01-Dreieck-SSS-5.svg
01-Dreieck-SSS-6.svg
01-Dreieck-SSS-7.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SSS.gif

SWS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SWS-1.svg
01-Dreieck-SWS-2.svg
01-Dreieck-SWS-3.svg
01-Dreieck-SWS-4.svg
01-Dreieck-SWS-5.svg
01-Dreieck-SWS-6.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SWS.gif

SSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-SSW-1.svg
01-Dreieck-SSW-2.svg
01-Dreieck-SSW-3.svg
01-Dreieck-SSW-4.svg
01-Dreieck-SSW-5.svg
01-Dreieck-SSW-6.svg
01-Dreieck-SSW-7.svg
01-Dreieck-SSW-8.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-SSW.gif

WSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

01-Dreieck-WSW-1.svg
01-Dreieck-WSW-2.svg
01-Dreieck-WSW-3.svg
01-Dreieck-WSW-4.svg
01-Dreieck-WSW-5.svg
01-Dreieck-WSW-6.svg
01-Dreieck-WSW-7.svg

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-WSW.gif


Herzlichem Dank an Petrus3743, der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen

Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik[Bearbeiten]

Als Die drei antiken Probleme oder Klassische Probleme der antiken Mathematik werden bezeichnet:

  • die Quadratur des Kreises
  • die Dreiteilung des Winkels
  • die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z. B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben.

Die Quadratur des Kreises[Bearbeiten]

Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Unmöglichkeit einer solchen Konstruktion. Sie ist äquivalent mit der Rektifikation des Kreises, bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist Quadratur des Kreises der Begriff für eine unlösbare Aufgabe.

Die Aufgabe[Bearbeiten]

Die Aufgabe besteht darin, in endlich vielen Konstruktionsschritten ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich ; darin ist der Radius des vorgegebenen Kreises.

Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias[Bearbeiten]

Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve Quadratrix des Hippias als zusätzliches Konstruktionsmittel. Darstellbar ist diese Kurve z. B. mit einer Software für Dynamische Geometrie (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix () beschrieben durch die Gleichung:

Konstruktionsschritte

01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg
  1. Keis mit Radius
  2. Halbgerade ab
  3. Senkrechte zu durch
  4. Quadrat sowie Quadratrix (rote Linie) durch und nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt
  5. Strecke ab verlängern
  6. Senkrechte zu mit Fußpunkt bis sie den Kreis in schneidet
  7. Linie von durch , bis sie die Verlängerung der Strecke in schneidet
  8. Kreisbogen mit Radius bis auf die Halbgerade, dabei ergibt sich der Schnittpunkt
  9. Strecke verdoppeln, dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang
  10. Halbkreis über
  11. Abschließende Linie ab bis auf die Verlängerung der Strecke
  • Somit ergibt sich mit die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.
Näherungskonstruktion[Bearbeiten]

Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit (geringer Fehler bezogen auf den Sollwert ) erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch (5. Jahrhundert) zu erreichen ist.

Konstruktionsschritte

01 Quadratur des Kreises E-8.svg
  1. Kreis mit beliebigem Radius um Mittelpunkt
  2. Quadrat mit als Seitenlänge sowie Strecke über hinaus verlängern
  3. Diagonale ergibt Schnittpunkt
  4. Parallele zu durch bis ergibt Schnittpunkt
  5. Halbkreis um ab im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt
  6. Strecke halbieren in
  7. mit verbinden, ergibt Schnittpunkt
  8. Punkt so bestimmen, dass
  9. Punkt mit verbinden, ergibt Schnittpunkt
  10. Parallele zu ab bis Strecke , ergibt Schnittpunkt
  • Wird die Strecke verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

Fehlerbetrachtung bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates as = = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = a - as = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates A = a2 = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates As = = 3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = A - As = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

Fazit:

Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von .

  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,5 mm
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5,2 mm2
Weblinks[Bearbeiten]

 Quadratur des Kreises

 Beweis der Unmöglichkeit

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Hippias von Elis

 Quadratrix des Hippias

 Software für Dynamische Geometrie

 Nachkommastelle

 Zu Chongzhi-Bruch

 Konstruktion von Jacob de Gelder

Die Dreiteilung des Winkels[Bearbeiten]

01 Dreiteilung des Winkels-Teilbarkeit.svg

Die Dreiteilung des Winkels ist ein klassisches Problem, für das bereits die alten Griechen (5. Jahrhundert v. Chr.) versuchten eine Lösung zu finden.

Spezielle Winkel (siehe nebenstehendes Bild) können jedoch mit den euklidischen Werkzeugen gedrittelt werden, z. B. Winkel die ein ganzzahliges Vielfaches von 9° sind.

Die Aufgabe[Bearbeiten]

Die Aufgabe besteht darin, in endlich vielen Konstruktionsschritten einen beliebigen Winkel allein mit Zirkel und unskaliertem Lineal in drei gleich große Winkel zu teilen. Erst 1837 gelang Pierre-Laurent Wantzel der Beweis, dass dies unmöglich ist.

Konstruktion mithilfe eines rechtwinkligen dreieckigen Lineals[Bearbeiten]
01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.svg
01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.gif

Ludwig Bieberbach fand 1932 eine bemerkenswerte einfache Lösung. Hierfür benutze er einen – wie er ihn nannte – Rechtwinkelhaken als zusätzliches Konstruktionsmittel.

Konstruktionsschritte

(Die Animation hat am Ende 60 s Pause.)

  1. Kreis mit beliebigem Radius um Mittelpunkt
  2. Erster Winkelschenkel
  3. Kreis um mit Radius
  4. Ersten Winkelschenkel ab verlängern, ergibt den Schnittpunkt
  5. Kreisbogen um mit Radius
  6. Zweiter Winkelschenkel , ergibt im Scheitel den zu drittelnden Winkels
  7. Dreieckiges Lineal (z.B. ein Geodreieck) folgendermaßen auf die Zeichnung legen:
Der Scheitel des Winkels bestimmt auf dem Winkelschenkel den Punkt , eine Kathete des Dreiecks verläuft durch den Punkt und die andere tangiert den Kreis um .
  1. Punkt mit verbinden sowie Tangente ab an den Kreis um
Somit zeigt sich der oben genannte Rechtwinkelhaken (rot). Der von den Strecken und eingeschlossene Winkel ist exakt
  1. Parallele ab zu , dabei ergeben sich der Wechselwinkel oder Z-Winkel und der Punkt auf dem Kreisbogen um
  2. Parallele ab zu , dabei ergibt sich der Berührungspunkt der Tangente an den Kreis um
  3. Abschließende Linie ab durch , bis sie den Kreisbogen um in schneidet
  • Somit ist der Winkel exakt gedrittelt, denn es gilt
Näherungskonstruktion[Bearbeiten]

Im Jahr 2011 sandte Chris Alberts eine außerordentlich gute Näherung einer Winkeldreiteilung an Rouben Rostamian (University of Maryland, Baltimore County). Die hier beschriebene Näherungskonstruktion ist eine starke Vereinfachung des Originals mit der folgendes erreicht wird:

  • Ein großer Teil der Konstruktion liegt meist in der unteren Hälfte des Kreises .
  • Eine praktikable Dreiteilung des Winkels ab nahe bis .

Konstruktionsschritte

01 Dreiteilung des Winkels-180°-2.svg
01 Dreiteilung des Winkels-180°-2-Animation.gif
  1. Kreis mit beliebigem Durchmesser um Mittelpunkt
  2. Winkelschenkel und Winkelschenkel schließen den Winkel im Scheitel ein, und den Ergänzungswinkel
  3. Kreis um mit Radius ; die Verlängerung des Winkelschenkels schneidet Kreis in
  4. Durchmesser mit und Verbindung des Punktes mit
  5. Punkt auf Kreis so, dass
  6. Strecke in halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von schneidet in ergibt
  7. Parallele zu ab erreicht Kreis in
  8. Parallele zu ab Punkt darauf so, dass
  9. Linie ab durch erreicht Kreis in anschließend Linie ab bis
  10. Parallele zu ab erreicht Kreis in
  11. Strecke über hinaus verlängern, Punkt darauf so, dass
  12. Linie ab durch erreicht Kreis in
  13. Bestimme Punkt so, dass Winkel Verbindung mit ergibt den Winkel
  14. Mittelsenkrechte von schneidet in verbinde mit
  15. Bestimme Punkt so, dass Winkel
  16. Abschließende Verbindung mit ergibt Winkel
  • Der Winkel ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels
  • Der Winkel ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels

Fehlerbetrachtung

Eine Fehleranalyse, ähnlich Chris Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden.

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels bzw. , sprich, die Differenzwerte aus bzw. werden von GeoGebra stets mit angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels bzw. mithilfe des Schiebereglers oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung vom SOLL-Wert bzw. ablesbar.

Fazit

Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. entspricht einem absoluten Fehler der – nicht eingezeichneten – Sehne bzw. der sich wie folgt ergibt:

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Milliarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden – nicht eingezeichneten – Sehnen bzw. ≈ 1,7 mm.

Weblinks[Bearbeiten]

 Dreiteilung des Winkels

 Beweis der Unmöglichkeit

 Winkel

 Tangente

 Wechselwinkel oder Z-Winkel

 Commons: Dreiteilung des Winkels von Chris Alberts – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

 GeoGebra

 Lichtgeschwindigkeit

Die Würfelverdoppelung[Bearbeiten]

Das Problem der Würfelverdoppelung auch Delisches Problem genannt, ist seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt. Nach div. Autoren aus der Antike geht die Aufgabe aus einer Episode zurück. Nachdem auf der griechischen Insel Delos eine schwere Seuche ausbrach, befragten die Einwohner ein Orakel, was für eine Besserung zu tun sei. Das Orakel verlangte hierfür den würfelförmigen Altar im Apollontempel der Insel in seinem Volumen zu verdoppeln. Im späten 5. Jahrhundert v. Chr. war Hippokrates von Chios der Erste, der den mathematischen Ansatz zur theoretischen Lösung fand. Das Problem gleicht dem der Bestimmung von zwei mittleren Proportionalen zweier Größen. Sprich, ist für eine Strecke der Länge nach zwei Strecken der Längen und gesucht, gilt folgender Zusammenhang:

.

Daraus folgt .

Da die Kubikwurzel aus als Länge einer Strecke nicht in endlich vielen Konstruktionsschritten darstellbar ist, gibt es keine konstruktive Lösung allein mit Zirkel und unmarkierten Lineal. Den Beweis hierzu fand Pierre Wantzel im Jahr 1837.

Die Aufgabe[Bearbeiten]

Die Aufgabe besteht darin, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel in endlich vielen Konstruktionsschritten zu konstruieren, der (exakt) das doppelte Volumen vom Ausgangswürfel hat.

Konstruktion mithilfe eines markierten Lineals[Bearbeiten]
01 Würfelverdoppelung-Newton-0.svg

Nimmt man jedoch als zusätzliches Hilfsmittel ein Lineal mit der Markierung der Kantenlänge des Ausgangswürfels, ist eine exakte Lösung, wie z. B. die folgende von Isaac Newton, möglich.

Die nebenstehende Darstellung und folgende sinnmäßig übersetzte Beschreibung, sind nach Isaac Newton.

Ich ziehe eine beliebige Linie, K A = a, halbiere sie in C und ziehe um den Mittelpunkt K mit Abstand K C einen Kreisbogen, ich bestimme C X = b und ziehe eine gerade Linie durch A X und eine durch C X, ich markiere E Y = C A, sodass eine gerade Linie durch E Y sowie durch den Punkt K gehen kann. [...]

Das Bild zeigt eine sogenannte Neusis-Konstruktion, darin sind und die mittleren Proportionalen von und , wobei die Kante des Ausgangswürfels und die Kante des verdoppelten Würfels ist.

Näherungskonstruktion[Bearbeiten]
01 Würfelverdoppelung-5.svg
01 Würfelverdoppelung-5.gif

Die folgende Näherungskonstruktion hat eine außergewöhnliche Genauigkeit. Darin ist die Kantenlänge des Ausgangswürfels und die des verdoppelten Würfels.

Konstruktionsschritte

(Die Animation hat am Ende 10 s Pause)

  • Der Radius des Kreises um Mittelpunkt ist gleich der Kantenlänge des Ausgangswürfels .
Im folgenden Beispiel wurde einfachheitshalber gewählt.
  1. Kreis mit Radius um Mittelpunkt
  2. Durchmesser
  3. Senkrechte zu durch
  4. Kreisbogen mit Radius um , ergibt die Schnittpunkte und
  5. Kreisbogen mit Radius um , ergibt die Schnittpunkte und
  6. Punkt mithilfe der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes
  7. Parallele zu ab ergibt Schnittpunkt
  8. Punkt mithilfe der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes
  9. Abstand übertragen ab ergibt
  10. Parallele zu ab ergibt Schnittpunkt
  11. Punkt mithilfe der nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes
  12. Abschließende Linie von bis ergibt Schnittpunkt
  • Die Länge der Strecke ist nahezu gleich dem Sollwert .

Fehlerbetrachtung bei einem Kreis mit Radius [LE]:

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

Fazit

  • Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a1 = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a2 des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler evaluierbar.
Somit liegt die Vermutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.
  • Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a1 = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 vermutlich < 0,7 dm3 oder < 1  Liter.
Weblinks[Bearbeiten]

 Würfelverdoppelung, Delisches Problem

 Hippokrates von Chios

 Neusis-Konstruktion nach Isaac Newton

 Neusis-Konstruktion

 Mittelsenkrechte

Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken[Bearbeiten]

Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt[Bearbeiten]

KlickenHandy.png


Gibson Steps rainbow and wave Great Ocean Road.jpg
BILDERVERZEICHNIS
ÖFFNE DEIN HORIZONT!
LERNE MIT MATHEMATRIX!
Seite mit Anleitungen zur Anwendung von MathematrixProblemmeldung
KlickenMit.png KlickenEltern.png KlickenLehrer.png
Mathematrix Icon 03.svg
Hundertwasser 03.jpg
LOGO Emojione 1F42A.svg CH DE AT
SPENDEN
Der Hauptautor ggf. das Team verdient zwar nicht viel, braucht allerdings dein Geld eigentlich nicht. Wenn du aber doch meinst, dass gute Arbeit belohnt werden soll und dieses Projekt gut findest, kannst du immer in diesem Link spenden. Das ist allerdings vielleicht die einzige Einrichtung mit völliger Transparenz, wo du genau weißt, was mit deinem Geld passiert.