MathemaTriX ⋅ Theorie. Geometrische Konstruktionen

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Dreieckskonstruktionen[Bearbeiten]

Dreieckskonstruktionen Einführung[Bearbeiten]

Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

Konventionen

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a[1].

  1. Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).

SSS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

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Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

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SWS Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

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Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

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SSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

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Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

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WSW Konstruktion[Bearbeiten]

Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

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Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:

01-Dreieck-WSW.gif


Herzlichem Dank an Petrus3743, der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen

Die Klassische Probleme der antiken Mathematik[Bearbeiten]

Die Quadratur des Kreises[Bearbeiten]

Quadratur des Kreises die Aufgabe[Bearbeiten]
Quadratur des Kreises Versuche[Bearbeiten]

Die Dreiteilung des Winkels[Bearbeiten]

Dreiteilung des Winkels die Aufgabe[Bearbeiten]
Dreiteilung des Winkels Versuche[Bearbeiten]

Die Würfelverdoppelung[Bearbeiten]

Würfelverdoppelung die Aufgabe[Bearbeiten]
Würfelverdoppelung Versuche[Bearbeiten]

Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken[Bearbeiten]

Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt[Bearbeiten]

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