MathemaTriX ⋅ Theorie. Einheiten

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Einheiten und physikalische Größen

Unsere Umgebung, die Natur, wir selber haben viele Eigenschaften: ein Wald kann schön sein, ein Berg kann groß oder klein sein, das Meer blau usw. Manche Eigenschaften, die man messen kann, sind für die Physik wichtig. Solche Eigenschaften sind z.B. die Länge (oder der Abstand, der Weg usw.), die Masse (grob gesagt: das Gewicht), die Zeit, die Geschwindigkeit, die Kraft, die elektrische Ladung usw. Alle diese Eigenschaften, die für die Physik wichtig sind und die man messen kann, nennt man physikalische Größen.

Jede Größe kann man mit verschiedenen Einheiten messen. Für den Abstand z.B. benutzt man Meter (oder auch Zolle, Kilometer, Millimeter usw.), für die Zeit Sekunde (oder Stunden, Tagen, Minuten usw.) für die Masse Kilogramm (oder Gramm, Tonne usw.), für die Kraft Newton usw..

Vorsätze von Einheiten

Für jede Einheit gibt es verschiedene Vorsätze, also kleine Wörter, die einen gewissen Anteil der Einheit zeigen:

Milli (m) bedeutet ein Tausendstel, Zenti (c) ein Hundertstel, Deci (d) ein Zehntel, Kilo (k) bedeutet Tausend. Ein Milligramm (mg) bedeutet daher ein Tausendstel eines Gramms, ein Zentimeter (cm) bedeutet ein Hundertstel eines Meters, ein Kilogramm (kg) Tausend Gramms, ein Decivolt (dV) ein Zehntel eines Volts, ein Zentiliter (cL) ein Hundertstel eines Liters, ein Kilowatt (kW) Tausent Watts.

Einheiten umrechnen

Grundlegende zusammenfassende Tabelle von Einheiten

Phys. Größe	Einheiten
Zeit (t)	Tag	24	h	60	min	60	s	1000	ms
Masse (m) ("Gewicht")	t	1000	kg	1000	g	1000	mg
Abstand (d, $\ell$,...) (Strecke, ...)	km	1000	m	10	dm	10	cm	10	mm
Fläche (A)	km²	1000²	m²	10²	dm²	10²	cm²	10²	mm²
Volumen (V)	km³	1000³	m³	10³	dm³$(\ell )$	10³	cm³	10³	mm³
Umrechnung	groß	$----\longrightarrow$			mal	$----\longrightarrow$			klein
		$\longleftarrow ----$			durch	$\longleftarrow ----$

Einheiten ohne Hochzahl

Abstand

Für die Umrechnungen eines Abstandes benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• Wenn ein Abstand z.B. in km gegeben ist und in dm umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000 und einmal mit 10:

2,35km= 2,35 ·1000 ·10 dm = 23500 dm

• wenn ein Abstand z.B. in cm gegeben ist und in m umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10:

0,054cm= 0,054:10:10 m = 0,00054m

Masse

Für die Umrechnungen einer Masse benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• wenn eine Masse z.B. in kg gegeben ist und in mg umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel zwei mal mit 1000:

0,087kg= 0,087 ·1000 ·1000 mg = 87000mg

• wenn eine Masse z.B. in g gegeben ist und in Tonnen (t) umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 1000:

36530g= 36530:1000:1000 t = 0,03653t

Zeit

Für die Umrechnungen der Zeit benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• wenn eine Zeit z.B. in Minuten gegeben ist und in Sekunden umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 60:

0,08min= 0,08·60 s = 4,8s

• wenn eine Zeit z.B. in Minuten gegeben ist und in Tage umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel einmal durch 60 und einmal durch 24:

36630 min= 36630:60:24 Tage = 25,4375 Tage

Einheiten mit Hochzahl

Flächeninhalt

Für die Umrechnungen einer Fläche benutzt man wieder das Schema des Abstandes:

ABER!!!

Fläche ist immer mit Quadrat: km², m², dm², cm², mm²

Es ist immer hoch 2. Daher muss man jeden Schritt (oder alle Schritte zusammen) 2 mal machen! Daher kann man folgendes bild benutzen:

In diesem Bild:

• Wenn eine Fläche z.B. in km² gegeben ist und in dm² umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000² und einmal mit 10².

2,35km²= 2,35 ·1000² ·10²dm² = 2,35 ·1000000 ·100 dm² = 235000000dm²

• Wenn eine Fläche z.B. in cm² gegeben ist und in m² umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10², also zwei mal durch 100 dividieren.

0,054cm² = 0,054:10² :10² m² = 0,054:100 :100 m² = 0,0000054m²

Volumen

Für die Umrechnungen eines Volumens benutzt man wieder das Schema des Abstandes:

Volumen ist immer Kubik: km³, m³, dm³, cm³, mm³

Es ist immer hoch 3. Daher muss man jeden Schritt (oder alle Schritte zusammen) hoch 3 machen! Daher kann man folgendes Bild benutzen:

In diesem Bild:

• Wenn das Volumen z.B. in km³ gegeben ist und in dm³ umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000³ und einmal mit 10³.

2,35 km³ = 2,35 ·1000³ ·10³ dm³ = 2,35 ·1000000000·1000 dm³ = 2350000000000 dm³ (=2,35·10¹² dm³)

• Wenn das Volumen z.B. in cm³ gegeben ist und in m³ umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10³.

0,054cm³ = 0,054:10³:10³ m³ = 0,054:1000 :1000 m³ = 0,000000054 m³ (= 5,4 ·10^-8 m³)

Eine Einheit, die oft am Alltag für das Volumen benutzt wird, ist der Liter. Ein Liter ist genau so viel wie ein dm³. Daher ist ein$\ m\ell \$(Milliliter) so viel wie ein cm³.

Einheiten und Zahlendarstellung

Vorsilben und Gleitkommadarstellung

Vorsilben

(auch: Vorsätze oder Präfixe: aus der Wikipedia Seite leicht verändert)

SI-Präfixe sind die für die Verwendung im Internationalen Einheitensystem (SI) (siehe Erklärung) definierte Dezimal-Präfixe. Sie basieren auf Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten. Man unterscheidet zwischen dem Namen des Präfix und seinem Symbol. Die Symbole sind international einheitlich. Die Namen unterscheiden sich je nach Sprache. Die folgende Tabelle ist nicht vollständig, beinhaltet aber die in der Schulphysik meistbenutzten Vorsilben. Für eine vollständige Tabelle kann man die entsprechende Wikipedia Seite besuchen.

Die Präfixe im SI:

Symbol	Name	Ursprung	Wert
T	Tera	gr. τέρας téras = Ungeheuer / gr. τετράκις tetrákis = viermal	1012	1.000.000.000.000	Billion
G	Giga	gr. γίγας gígas = Riese	109	1.000.000.000	Milliarde
M	Mega	gr. μέγα méga = groß	106	1.000.000	Million
k	Kilo	gr. χίλιοι chílioi = tausend	103	1.000	Tausend
h	Hekto	gr. ἑκατόν hekatón = hundert	102	100	Hundert
da	Deka	gr. δέκα déka = zehn	101	10	Zehn
—	—	—	100	1	Eins
d	Dezi	gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter	10−1	0,1	Zehntel
c	Zenti	gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster	10−2	0,01	Hundertstel
m	Milli	lat. millesimus = tausendster	10−3	0,001	Tausendstel
µ	Mikro	gr. μικρός mikrós = klein	10−6	0,000 001	Millionstel
n	Nano	gr. νάνος nános = "Zwerg"	10−9	0,000 000 001	Milliardstel
p	Piko	ital. piccolo = klein	10−12	0,000 000 000 001	Billionstel

Die Zeichen für Teile einer Einheit werden als Kleinbuchstaben geschrieben, während die meisten Zeichen für Vielfache einer Einheit als Großbuchstaben geschrieben werden. Ausnahmen von dieser Systematik sind aus historischen Gründen die Zeichen für Deka (da), Hekto (h) und Kilo (k).

Gleitkommadarstellung

Es gibt verschiedene Weisen die gleiche Zahl zu schreiben. 0,00065 beispielsweise kann man auch als ${\frac {65}{100000}}$ oder als ${\frac {13}{20000}}$ oder als 650 · 10^-6 usw. schreiben. Die normierte Gleitkommadarstellung ist die Darstellung, in der eine Zahl zwischen 1 und 9 vor dem Komma steht und möglicherweise Nachkommastellen und das ganze mit einer Zehnerpotenz multipliziert wird. Unseres Beispiel in Gleitkommadarstellung sieht so aus: 6,5 · 10^-4. Es gilt also:

0,00065 = ${\frac {65}{100000}}$ = 650 · 10^-6 = 6,5 · 10^-4

Was ganz rechts steht, ist die Gleitkommadarstellung der Zahl. Die Zahlen 0,22 · 10⁴ und 22 · 10² sind nicht in Gleitkommadarstellung, weil die Zahl vor dem Komma nicht zwischen 1 und 9 ist. Die entsprechende Gleitkommadarstellung ist 2,2 · 10³.

Zahl in Gleitkommadarstellung umwandeln

Wie kann ich die Zahl 0,0072 in Gleitkommadarstellung umwandeln? 0,0072 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma nach rechts verschieben muss: 0,0072 = 7,2 · 10^-3. Also, wenn eine Zahl kleiner also 1 ist (null Komma irgendwas) wird die Hochzahl der Potenz in der Gleitkommadarstellung negativ sein und genauso viel, wie ich das Komma nach rechts verschieben muss. Noch ein Beispiel: 0,00000054. Die Zahl ist kleiner als 1, also die Hochzahl in der Zehnerpotenz wird negativ sein. Wenn wir 5,4 schreiben, haben wir das Komma 7 mal nach rechts verschoben. Daher ist die Gleitkommadarstellung 5,4 · 10^-7.

Nehmen wir jetzt eine Zahl größer als 1: 99500. Hier ist es leichter: das ist so viel wie 9,95 · 10000, also 9,95 · 10⁴. Wir haben das Komma 4 mal nach links verschoben und die Hochzahl ist eindeutig positiv. Wenn also eine Zahl größer als 1 in Gleitkommadarstellung dargestellt wird, wird die Hochzahl in der Gleitkommadarstellung positiv sein und zwar so viel, wie man das Komma nach links verschoben hat. Noch ein Beispiel: 65100000000. Die Hochzahl wird eindeutig positiv sein (6,51 muss ich mit 10000000000 also 10⁸ multiplizieren - und nicht 10^-8 – damit das Ergebnis 65100000000 ist!) und so viel, wie ich das Komma verschieben muss, also die Gleitkommadarstellung ist 6,51 · 10⁸.

Beispiel zur Gleitkommadarstellung

Ergänzen Sie die unbekannte Hochzahl von 10. Schreiben Sie die Zwischenschritte auf.

0,008 μF = 800 · 10^x MF

Es gibt unterschiedliche Weisen solch eine Aufgabe zu lösen. Eine davon ist, wenn man jede Seite in der normierten Gleitkommadarstellung umwandelt.

Die linke Seite der Gleichung (0,008 μF)

0,008 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

0,008 = 8 · 10^-3

μ steht für mikro also für 10^-6.

Daher ist die linke Seite in Gleitkommadarstellung:

0,008	μ	F
↓	↓
8 · 10-3 ·	10-6	F

Die rechte Seite der Gleichung (800 · 10^x MF)

800 ist eine Zahl größer als 1. Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 positiv sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

800 = 8 · 10²

M steht für Mega also für 10⁶

Daher ist die rechte Seite in Gleitkommadarstellung:

800 ·	10x	M	F
↓	↓	↓
8 · 102 ·	10x	106	F

Ergebnis

Die linke und die rechte Seite müssen gleich sein, also:

8 · 10^-3 · 10^-6 F = 8 · 10² · 10^x · 10⁶ F

und nach den Potenzregel:

8 · 10^-3-6 F = 8 · 10^2+x+6 F

Der einzige Unterschied sind die Hochzahlen. Wir haben in beiden Seiten eine Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (10), daher müssen die Summen der Hochzahlen auf beide Seiten gleich sein:

-3-6 = 2 + x + 6    $\Leftrightarrow$     -9=x+8   als    x = -17

und daher:

0,008 μF = 800 ·10^-17 MF

Komplexes Beispiel zur Umwandlung von Einheiten

In der folgenden Weise kann man allgemeiner eine komplexe zusammengesetzte Einheit in eine andere umwandeln, auch wenn die Einheiten in unterschiedlichen Einheitssystemen gehören.

Für die Grundgrößen sind in der Regel die Verhältnisse zwischen den Einheiten gegeben, z.B. 1 Zoll (Angloamerikanisches Maßsystem) ist 2,54 cm (S.I.). Dadurch kann man auch 1 Fuß berechnen: 1 Fuß = 12 Zoll = 30,48 cm usw. Für den Druck wird die Einheit PSI (Pound-Force pro Square Inch: „Pfund-Kraft pro Quadrat-Zoll“) benutzt. 1 Pfund-Kraft (Pound-Force) wird nicht durch anderen Einheiten und eine Formel definiert (wie z.B. ein Newton in SI System), sondern wird als die Kraft, die auf eine Masse von einem Pfund (Einheit dieses Systems für die Masse) auf der Erdoberfläche ausgeübt wird. Das ist dann ca. 4,4482N. Daher gilt:

$1PSI\approx {\frac {4,45N}{0,0254^{2}}}\approx 6894,7Pa$

Pa (Pascal) ist die SI Einheit für den Druck (also 1 Newton pro m²).

Die Einheit PSI sieht man immer noch oft heutzutage, wenn man die Reifen eines Autos pumpen will.

Noch ein Beispiel kann den Vorgang noch klarer machen:

In der imaginären Insel Atlantis messen die Leute die Masse in AM (Atlantis Masseneinheiten), die Strecke in AS (Atlantis Streckeneinheiten) und die Zeit in AZ (Atlantis Zeiteinheiten). 1 AM ist 9·10² kg, 1 Meter ist 25 AS und 1 AZ ist 12 Sekunde. Rechnen sie die Beschleunigung 4m/s² in Atlantiseinheiten (also in AS/AZ²) und die Dichte 0,007 AM/AS³ in kg/m³ um!

• Wir wollen zuerst 4m/s² in AS/AZ² umrechnen. Wir sollen also in der Angabe "4m/s²" 1m und 1s durch die entsprechenden Atlantiseinheiten ersetzen. 1m ist schon gegeben (1m=25AS). 1s ist aber nur indirekt gegeben (1AZ = 12s). Durch umformen finden wir aber leicht, dass  $1s={\frac {1}{12}}AZ$  ist. Wir können also schreiben:

$4\,m/s^{2}=4\cdot {\frac {1m}{(1s)^{2}}}=4\cdot {\frac {25AS}{({\frac {1}{12}}AZ)^{2}}}=4\cdot 25\cdot 12^{2}\cdot {\frac {AS}{AZ^{2}}}=1{,}44\cdot 10^{4}{\frac {AS}{AZ^{2}}}$

• In der gleichen Weise kann man bei der angegebenen Dichte 0,007 AM/AS³ die Atlantiseinheiten in SI Einheiten umrechnen. 1AM ist 9·10² kg (schon direkt gegeben) und   $1AS={\frac {1}{25}}m$  (durch Umformen, da 1m=25AS ist, ist dann 1AS=1:25). Wir können also schreiben:

$0{,}007\,AM/AS^{3}=0{,}007\cdot {\frac {1AM}{(1AS)^{3}}}=0{,}007\cdot {\frac {9\cdot 10^{2}kg}{({\frac {1}{25}}m)^{3}}}=0{,}007\cdot 9\cdot 25^{3}\cdot 10^{2}\cdot {\frac {kg}{m^{3}}}\approx 9{,}84\cdot 10^{4}{\frac {kg}{m^{3}}}$