MathemaTriX ⋅ Einheiten und Zahlendarstellung

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Frage stellen!
ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 und 2 probieren,
sie sind unterschiedlich!
Theorie in Kürze (mit Geogebra)


  • Grundwissen
Phys. Größe Einheiten
Zeit (t) Tag 24 h 60 min 60 s 1000 ms
Masse (m)
("Gewicht")
t 1000 kg 1000 g 1000 mg
Abstand (d, ,...)
(Strecke, ...)
km 1000 m 10 dm 10 cm 10 mm
Fläche (A) km² 1000² 10² dm² 10² cm² 10² mm²
Volumen (V) km³ 1000³ 10³ dm³ 10³ cm³ 10³ mm³
Umrechnung groß mal klein
durch


  • Zusammengesetzte Einheiten:

Jeder "Teil"-Einheit müssen wir durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzen.

Beispiel:

Rechnen wir 45 in/s in m/min um, wenn wir wissen, dass 5 Zoll (englische Längeneinheit, Symbol "in" von "inch") 127 mm sind. Jeder "Teil"-Einheit wird durch die entsprechende "Ziel"-Einheit ersetzt. Wir haben zwei "Teil"-Einheiten Zoll (in) und Sekunde (s) (für die Umrechnungen kann man notfalls auch Schlussrechnung benutzen).

5 Zoll sind 127 mm, also 0,127 m. Daher ist 1 Zoll (in):

1 Minute ist 60 Sekunde daher ist 1 s:

Wir ersetzen dann die "Teil"-Einheiten durch die "Ziel"-Einheiten:

Wenn wir mehrere Werte der gleichen physikalischen (oder sonst) Größe mit unterschiedlichen Einheiten vergleichen wollen, dann wählen wir eine Einheit und rechnen wir alle andere auf diese Einheit um.


  • Gleitkommadarstellung

In der Gleitkommadarstellung haben wir eine Zahl z zwischen 1 und (also und eine Potenz von 10. Die Zahl 340000 ist dann (Komma 5 mal nach links verschoben, "Zahl kleiner geworden" also Hochzahl +5). Die Zahl 0,00673 ist dann (Komma 3 mal nach rechts verschoben, "Zahl größer geworden" also Hochzahl -3).



  • Präfixe

Die Präfixe stehen in der Formelsammlung!


Die Präfixe im SI:[1]
Symbol Name Ursprung Wert
T Tera gr. τέρας téras = Ungeheuer /
gr. τετράκις tetrákis = viermal
1012 1.000.000.000.000 Billion
G Giga gr. γίγας gígas = Riese 109 1.000.000.000 Milliarde
M Mega gr. μέγα méga = groß 106 1.000.000 Million
k Kilo gr. χίλιοι chílioi = tausend 103 1.000 Tausend
h Hekto gr. ἑκατόν hekatón = hundert 102 100 Hundert
da Deka gr. δέκα déka = zehn 101 10 Zehn
100 1 Eins
d Dezi gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter 10−1 0,1 Zehntel
c Zenti gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster 10−2 0,01 Hundertstel
m Milli lat. millesimus = tausendster 10−3 0,001 Tausendstel
µ Mikro gr. μικρός mikrós = klein 10−6 0,000 001 Millionstel
n Nano gr. νάνος nános = "Zwerg" 10−9 0,000 000 001 Milliardstel
p Piko ital. piccolo = klein 10−12 0,000 000 000 001 Billionstel



  • Zahlendarstellungen

Die gleiche Zahl kann in unterschiedlichen Darstellung auftauchen. Beispiel:

In diesen Fall rechnen wir alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und vergleichen wir die Ergebnisse.

Wenn verschiedene Ausdrücke mit einem Symbol verglichen werden müssen, ersetzen wir dieses Symbol durch eine etwas komplexer Zahl (also nicht 0 oder 1 sondern z.B. 44) und führen wir den vorherigen Schritt aus: wir rechnen alles mit einem Hilfsmittel (z.B. GeoGebra) und wir vergleichen die Ergebnisse. Beispiel:

mit vergleichen. Ersetzen wir a durch 44 und machen wir die Berechnung:

Also wir können annehmen, dass die Ausdrücke gleichwertig sind.

Das ist selbstverständlich kein genauer Weg, er macht allerdings das Leben einfacher (sonst muss man einige Regeln lernen :)).

Aufgaben

    1. Auf einer Landkarte ist die Breite eines rechteckigen Grundstücks 1,3 mm, die Länge der Straße, die zum Grundstück führt, 0,32 dm.
    2. Die Breite des Grundstücks ist in der Tat 65 m. Wie viel ist Länge der Straße und wie viel der  Maßstab der Karte?
    3. Nehmen wir an, das jemand an diese Breite eine Wand aufbauen will. Für eine Ziegelreihe sind 292,5 Ziegel notwendig. Wie viel ist die Länge eines Ziegels in m?

    4. Welche der folgenden Ausdrücke sind zueinander gleich?
      A
      B
      C
      D
      E
      F
      G

    5. Laut einer Definition des Zolls (in: Inch,Englische Abstandseinheit) sind 5 Zoll gleich 127 mm. Rechnen Sie 45 in/s in m/min um. Rechnen Sie 0,2 mm/s in in/h um.
    Antwort Antwort
    1. 1,6 km bzw. 1:50000
    2. A=C=D=F
    3. 45 in/s=68,58 m/min, 0,2 mm/s≈28,35 in/h

    1. Nehmen wir an, dass die Erde und die Sonne die Form einer Kugel haben. Der Durchmesser der Sonne ist ca. das 55-fache des Durchmessers der Erde. Jemand behauptet, dass das Volumen der Sonne 5500% des Volumens der Erde sei. Stimmt das oder nicht und warum?
    2. Schreiben Sie 0,85 Milliarden in Gleitkommadarstellung auf! Welche der folgenden Möglichkeiten entspricht dieser Zahl nicht?
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
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    3. Zeigen Sie, dass bei der Umrechnung der Dichte der Erde von kg/m³ in die Maßzahl unverändert bleibt!

    4. Welche der folgenden Ausdrücken sind zueinander gleich? Wie kann man umrechnen?
      A
      B
      C
      D
      E
      F
      G
    Antwort Antwort
    1. nein, da 5500%≠55³
    2. 8,5⋅10⁸, das 3.
    3. A=B=F=G,C=E

    1. Wäre der Durchmesser der Erde 1cm lang, wäre ihr Abstand von der Sonne 117m.
    2. Der Durchmesser der Erde ist ca. . Wie viel ist ihr Abstand zur Sonne in Meter?
    3. Nehmen wir an, dass die Erde eine Kugel ist. Jemand will ihren Umfang mit Büroklammern umranden. Dafür sind 0,85 Milliarden Büroklammern notwendig. Wie viel ist ihre Länge in mm?

    4. Welche der folgenden Ausdrücke sind zueinander gleich?
      A
      B
      C
      D
      E
      F
      G

    5. Laut einer Definition der Meile sind 5 Meilen gleich 8 Kilometer. Rechnen Sie 45 Meile/min in km/h um. Rechnen Sie 20 m/s in Meilen/h um.
    Antwort Antwort
    1. 149,76 Millionen km
    2. ca. 47,3 mm
    3. A=B=C=G,E=F
    4. 4860 km/h, 45 Meilen/h

    1. Nehmen wir an, dass die Atome von H und von Fe die Form einer Kugel haben und dass der Durchmesser von Fe ca. das 2,1-fache des Durchmessers von H ist. Jemand behauptet, dass in diesem Fall die Oberfläche des Atoms von Fe um 341% mehr als die von H ist. Stimmt das oder nicht und warum?
    2. Schreiben Sie in Gleitkommadarstellung auf! Welche der folgenden Möglichkeiten entspricht dieser Zahl nicht?
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg
      Regular quadrilateral.svg

    3. Zeigen Sie, dass bei der Umrechnung der Geschwindigkeit von m/s in km/h die Maßzahl das 3,6-fache wird!

    4. Welche der folgenden Ausdrücken sind zueinander gleich? Wie kann man umrechnen?
      A
      B
      C
      D
      E
      F
      G
    Antwort Antwort
    1. 2,1²=441% also 341% mehr
    2. 3,62⋅10⁸, das 1.
    3. A=B=E=F=G
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  1. BIPM – SI prefixes (englisch) – „BIPM – SI-Broschüre“, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 3.1: SI-Präfixe