MathemaTriX ⋅ Theorie. Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Hoch

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt Ein-Aus- klappen

AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Grundrechnungen

Definitionen der Grundrechenarten

Die vier Grundrechenarten

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Addition	plus	+	$2$        $+$      $7$      $=$	$9$
(addieren, erhöhen)			Summand $+$ Summand $=$	Summe
Subtraktion	minus	−	$65$      $-$      $22$      $=$	$43$
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend $-$ Subtrahend $=$	Differenz
Multiplikation	mal	⋅  (×)	$9$      $\cdot$      $13$      $=$	$117$
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor  ⋅  Faktor $=$	Produkt
Division	durch	:  (÷, /)	$84$      $:$      $7$      $=$	$12$
(dividieren, teilen)			Dividend $:$ Divisor $=$	Quotient

Das Symbol = ist ein Gleichheitszeichen. Es steht für die Gleichheit zweier Ausdrücke. Es wird in einem eigenen Abschnitt genauer erklärt.

Das Symbol × für die Multiplikation wird kaum benutzt, weil es leicht mit dem Symbol oder dem Buchstaben x für die Variable x verwechselt werden kann. Wozu in Rechnungen Buchstaben verwendet werden, werden wir später lernen. Für die Multiplikation wird in diesem Buch das Symbol · benutzt.
Das ist ein Punkt ungefähr auf halber Höhe einer Ziffer notiert.

Für die Division benutzt man auch Punkte : Die anderen Symbole für die Division / und ÷ werden seltener benutzt.
Typisch wird allerdings / bei den Einheiten verwendet, beispielsweise in der Geschwindigkeit (km/h). In diesem Beispiel sagt man "Kilometer pro Stunde". Mit dem Wort "pro" ist Division gemeint.

Weil für Multiplikation und Division Punkte als Symbole verwendet werden, nennt man die beiden Rechenarten zusammen Punktrechnungen.

Die Symbole für die Addition + und die Subtraktion – verwenden dagegen beide Striche. Daher nennt man diese beiden Rechenarten zusammen Strichrechnungen.

Bei Addition und Multiplikation spielt jeweils die Reihenfolge keine Rolle:

$5+6+11=6+11+5=\ 11+6+5\ =\ 22$

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Addition.

$2\cdot 5\cdot 3=5\cdot 3\cdot 2=\ 2\cdot 3\cdot 5\ =\ 30$

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Multiplikation.

Bei Subtraktion und Division ist die Reihenfolge wichtig. Das Ergebnis ist nicht das Gleiche, wenn die Reihenfolge anders ist:

$5-3+2=4\$ aber $\ 5-2+3\ =\ 6$

$10\cdot 5:2=25\$ aber $\ 10\cdot 2:5\ =\ 4$

Weitere Ausdrücke für die vier Grundrechenarten

Im Alltag gibt es allerdings einige Worte, die irgendeine Rechenart bedeuten können:

Schneiden, Kürzen (zum Beispiel Gehalt) und so weiter könnte minus bedeuten

Wachsen, zwei Sachen zusammen, insgesamt könnte plus bedeuten

in einige gleiche Teilen schneiden könnte doch geteilt durch bedeuten

... und so weiter ...

Das Gleichheitszeichen

Ein Symbol, das bisher nicht erklärt wurde, ist das Gleichheitszeichen "=". Es wird benutzt, um zu zeigen, dass der Ausdruck links des Zeichens das Gleiche ist, wie der Ausdruck rechts des Zeichens. Dies betrifft sowohl den Wert als auch die Einheit.

$20=4\cdot 5\ \$ ✔(richtig)

$20\ {\text{Kartoffeln}}=4\cdot 5\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✔(richtig)

$20\ {\text{Kartoffeln}}=4\cdot 7\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✘(falsch: falscher Wert)

$20\ {\text{Birnen}}=4\cdot 5\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✘(falsch: falsche Einheit)

$10m\cdot 5=50$ ✘(falsch: rechts fehlt die Einheit m)

Wie man mit Einheiten arbeitet, werden wir genauer im entsprechenden Kapitel lernen. Da werden wir auch erfahren, dass

$15m=150dm$

doch richtig ist.

Es gibt allerdings Gleichungen zwischen mehr als zwei Ausdrucken ("Gleichungsketten"), wie wir vorher gesehen haben:

$5+6+11=6+11+5=\ 11+6+5\ =\ 22$

Bei Gleichungsketten sind alle Ausdrücke gleich, daher kann man in diesem Beispiel auch schreiben:

$6+11+5=\ 22\quad$ oder $\quad 5+6+11=\ 11+6+5$

Es gilt daher allgemein:

• wenn $\ a=b\$ dann auch $\ b=a\$

• wenn $\ a=b=c$ dann auch $\ a=c\$

Gleichungsketten kann man allerdings in der Regel nicht bei sogenannten Äquivalenzumformungen benutzen, wie wir später lernen werden.

Die Gleichung zwischen zwei Ausdrucke spielt allerdings eine wichtige Rolle beim Einsetzen, ein Verfahren, das wir im entsprechenden Kapitel lernen werden.

Negative Zahlen

Das Minuszeichen benutzt man nicht nur bei der Subtraktion, sondern auch um sogenannte negative Zahlen zu bezeichnen. Was die negativen Zahlen sind, kann man ziemlich einfach verstehen, wenn man sich vorstellt, in einem Aufzug zu sein. Betrachten wir die folgende Bilderfolge:

$\qquad \qquad \qquad$

$\qquad \qquad \qquad$

$\qquad \qquad \qquad$

$\qquad \qquad \qquad$

$\qquad \qquad \qquad$

Im ersten Bild fängt man vom Erdgeschoss an, dieses kann man mit der Zahl 0 bezeichnen. Dann fährt man mit dem Aufzug 2 Stockwerke nach oben. Die Richtung nach oben kann man mit Plus (+) bezeichnen. Das ist im Bild zu sehen. 0+2=2. Im dritten Bild fährt man aus dem 2. Stock 3 Stockwerke weiter nach oben (+ Richtung). 2+3=5. Im vierten Bild fährt man 8 Stockwerke nach unten. Nach unten kann man mit Minus (−) bezeichnen, da die Stockwerke weniger werden. Wenn man aber 5−8 rechnet, kann das Ergebnis nicht 3 sein. 3 ist oberhalb des Erdgeschosses, wir sind aber jetzt in dritten Untergeschoss. Um die Stockwerke unter dem Erdgeschoss zu bezeichnen, braucht man etwas Neues: das Minuszeichen vor dem Stockwerk! Wir sind also im Stock −3, also 3 Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses.

Im fünften Bild fährt man ein Stockwerk weiter nach unten. Wir waren im Stock −3 und nach unten bedeutet minus. Am Ende sind wir 4 Stockwerke unter der Erde, also im Stock −4: −3−1=−4. Wenn also beide Zahlen negativ sind, addiert man ihren sogenannten Betrag (3 und 1) und schreibt vor dem Ergebnis wieder ein Minus. Im sechsten Bild fährt man aus dem 4 Stock unter der Erde (−4) 5 Stockwerke nach oben (nach oben bedeutet Plus machen) und befindet sich am Ende einen Stock oberhalb des Erdgeschosses (bei +1): −4+5=1. Wenn man zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat, subtrahiert man die Beträge (größerer Betrag minus kleineren Betrag, hier: 5−4=1) und schreibt man vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größeren Betrags (also hier von 5, da sie mehr als 4 ist). Im vierten Bild haben wir 5−8 gerechnet. Da haben wir wieder die Beträge subtrahiert (größerer minus kleineren: 8−5=3) und im Ergebnis haben wir wieder das Vorzeichen des größeren Betrags geschrieben (also das Minus, das vor 8 steht): 5−8 = −3.

Zusammengefasst: Wenn man zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen hat (z.B. 4+7 oder −3−5), dann addiert man die Beträge (4+7=11 und 3+5=8) und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen: (4+7=11 und −3−5 = −8). Wenn die eine Zahl positiv (+) ist und die andere negativ(−), subtrahiert man die Beträge und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größten Betrags: $\qquad \qquad \qquad$ 4−7=−3 $\qquad \qquad \qquad$ 15−9=6

Negative Zahlen werden immer mit einem Minus davor geschrieben, z.B. −6 oder −7,453 oder $-{\sqrt {87}}$. Positive Zahlen werden mit einem Plus davor geschrieben, z.B. +6 oder +7,453 oder $+{\sqrt {87}}$. Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen auslassen. Zum Beispiel ist 6 die positive Zahl +6, mit 7,453 wird die positive Zahl +7,453 gemeint und mit ${\sqrt {87}}$ einfach $+{\sqrt {87}}$.

Wenn allerdings das Plus oder das Minus nach der Zahl geschrieben wird, bedeutet es nicht, dass es eine positive oder negative Zahl ist. In diesem Fall erwartet man, dass noch eine Zahl folgen soll. 3− ist einfach unvollständig und auf gar keinen Fall die Zahl Minus drei ...

Weiteres über Rechnungen mit negativen Zahlen werden wir im Teilkapitel über die Plusminusregel lernen.

Das Komma bei Dezimalzahlen

Noch ein wichtiger Punkt bei der Schreibweise muss man noch kurz ansprechen. Und es geht hier genau um den Punkt.

Wenn man mit dem Taschenrechner die Division 2 durch 7 macht, kommt etwas wie folgendes vor:

$0.28571428...$

Das ist eine Zahl, die kleiner als eins ist. Auf Deutsch allerdings schreibt man:

$0{,}28571428...$

Falls der Unterschied nicht klar ist:

im ersten Fall steht zwischen 0 und dem Rest der Zahl ein Punkt:

$0\quad .\quad 28571428...$

im zweiten Fall ein Komma:

$0\quad {,}\quad 28571428...$

Man sagt auf Deutsch "Null Komma zwei acht fünf sieben...". Dieser Unterschied muss einem bewusst sein!

Auf Englisch und bei den meisten Taschenrechnern schreibt man

$8970063.4583$

oder sogar

$8{,}970{,}063.4583$.

Auf Deutsch und in ein paar anderen Sprachen werden die beiden Teile umgekehrt durch ein Komma getrennt:

$8970063{,}4583$

oder sogar

$8.970.063{,}4583$.

Auf diese Tatsache sollte man aufpassen!

Insbesondere wenn Menschen mit unterschiedlichen Kulturen, Sprachen oder Notationen Daten miteinander austauschen, kann dieser Unterschied für Verwirrung sorgen. Beim internationalen Datenaustausch und bei Programmiersprachen wird daher praktisch durchgehend der Punkt und nicht das Komma als Trennzeichen verwendet, in diesem Buch (wie allgemein auf Deutsch) allerdings das Komma.

Addition

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Addition	plus	+	2        +      7      =	9
(addieren, erhöhen)			Summand + Summand =	Summe

Beispiele: a) 35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?       b) 56333,76 + 0,089 + 33727,727 + 9=?

Lösungen

Aufgabe a 2 2 1 2 1 2   1 0 0 0 0 0 3 5 , 1 0 5 9 3 6 7 , 0 0 0 9 5 3 8 2 , 8 9 5 6 7 3 3 2 , 7 6  7 2 2 1 1 8 , 3 5

Aufgabe b 1 1 0 2 1   1 1 5 6 3 3 3 , 7 6 0 0 0 0 0 0 , 0 8 9 3 3 7 2 7 , 7 2 7 0 0 0 0 9 , 0 0 0  9 0 0 7 0 , 5 7 6

Man schreibt die Zahlen, die man addieren will, untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Um die Aufgabe übersichtlicher zu machen, schreibt man links und rechts der Zahlen Nullen(0), wenn Ziffer (im Vergleich zu den anderen Zahlen) „fehlen“.

Man addiert die Zahlen von jeder Spalte und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links). Die Summe der Ziffer der Spalte schreibt man unterhalb dieser Spalte.

Wenn die Summe der Ziffer in der Spalte mehr als 9 ist, dann schreibt man unterhalb der Spalte nur die letzte Ziffer und die restlichen oberhalb der nächsten Spalte links. Z.B. bei der Aufgabe a ist die Summe der Ziffer der Spalte rechts (mit der man anfängt) 0+0+9+6=15. Man schreibt darunter 5 (die letzte Ziffer) und 1 (15 ohne 5) oberhalb der nächsten Spalte links usw. Hier ist Aufgabe a Schritt zum Schritt gezeigt:

Aufgabe a Schritt zum Schritt gelöst
35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?

Subtraktion

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Subtraktion	minus	−	65      −      22      =	43
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend − Subtrahend =	Differenz

Beispiele: a) 9,2-6,7       b) 9,5-6,4       c) 4752,8–203,007

Man schreibt die Zahlen untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Die Zahl oben muss genau so viele Ziffer vor und nach dem Komma haben, wie die Zahl unten. Daher schreibt man rechts der Zahl oben Nullen(0), wenn Ziffer in den Nachkommastellen (im Vergleich zur Zahl unten) „fehlen“.

Man subtrahiert die Zahlen von jeder Spalte (oben minus unten) und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links).

Wenn die Ziffer oben kleiner als die Ziffer unten ist, dann addiert man zu dieser Ziffer 10 und subtrahiert von der nächsten Ziffer oben links eins. In der nächsten Spalte links benutzt man dann oben die reduzierte Ziffer. Beispielsweise:

Aufgaben a und b: 9,2−6,7=?     9,5-6,4=?

Bei größeren Zahlen macht man den ganzen Vorgang bei jedem Schritt.

Aufgabe c: 4752,8–203,007=?

Noch ein paar gelöste Beispiele:

Bsp. A 453,803−452,944=0,857	Bsp. B 504,6−3,6003=500,997	Bsp. C 200−199,9998=0,0002

Multiplikation

Definition der Multiplikation

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Multiplikation	mal	⋅  (×)	9      ⋅      13      =	117
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor  ⋅  Faktor =	Produkt

Zunächst einmal erklären wir die Bedeutung der Multiplikation.

$5\cdot 3$ bedeutet, dass man $5$ mal die $3$ zueinander addiert (plus macht). Also $\textstyle \ 5\cdot 3=\underbrace {3+3+3+3+3} _{5\ mal}=15$. Allerdings spielt bei der Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle. $\textstyle \ 5\cdot 3=3\cdot 5$. Letzteres ($\textstyle 3\cdot 5$) bedeutet drei mal die 5 zueinander addieren: $\textstyle \ 3\cdot 5=\underbrace {5+5+5} _{3\ mal}=15$.

Mit Hilfe der Addition kann man ein Multiplikationstabelle erstellen, sie wird das kleine Einmaleins genannt.

das kleine Einmaleins

Multiplikation mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle

Mit Hilfe der Einmaleinstabelle (die man allerdings schon auswendig lernen könnte) kann man Multiplikationen zwischen Zahlen mit einer Ziffer ganz schnell berechnen:

2 mal 7 mit Hilfe der Einmaleinstabelle finden

Zeile "2" wählen

Spalte "7" wählen

Box wo sie sich treffen wählen

Ergebnis: 14

Und noch ein paar Beispiele:

Die Reihenfolge Spielt...	keine Rolle! 5x3=3x5
Ebenfalls: 7x8...	... = 8x7!
noch ein Beispiel

Multiplikation von Zahlen mit mehreren Ziffern und Nachkommastellen

a) $5\cdot 3$

b) $5\cdot 30$

c) $5\cdot 37$

d) $4\cdot 37$

e) $40\cdot 37$

f) $37\cdot 45$

g) $0{,}45\cdot 0{,}000037$

h) $450\cdot 37000$

Beispiel a haben wir im Abschnitt über Definition schon beantwortet: $5\cdot 3=3+3+3+3+3=15$

Bevor wir mit den restlichen Beispielen weitermachen, müssen wir zwei Sachen noch erklären.

1. Bemerkung: Multiplizieren mit Klammern
   Wenn etwas in Mathematik in Klammern steht, ist es so gemeint, dass die Rechnung in den Klammern erst gemacht werden muss. Wenn wir $3\cdot (2+5)$ berechnen wollen, rechnen wir erst $\ 2+5$ aus, also was in den Klammern steht. $2+5=7$. Dann führen wir die Multiplikation aus: $3\cdot 7=21$. Hätten wir erst $3\cdot 2$ gerechnet und dann $+5$, wäre das Ergebnis falsch: $3\cdot 2=6\ \ {\text{und}}\ \ 6+5=11$.
   Das bedeutet dann, dass man die Zahl außerhalb der Klammern erst mit jedem Summand in den Klammern multiplizieren muss und dann diese Produkte addieren. $3\cdot (2+5)$ ist nicht $3\cdot 2+5$. Man muss erst die Zahl außerhalb der Klammern (3) erst mit jedem Summand in den Klammern (2 und 5) multiplizieren $3\cdot 2=6\ \ {\text{und}}\ \ 3\cdot 5=15$ und dann diese Produkte (6 und 15) addieren: $6+15=21$ (also das richtige Ergebnis). Man schreibt:
   $3\cdot (2+5)=3\cdot 2+3\cdot 5=6+15=21$
   oder
   $3\cdot (2+5)=3\cdot 7=21$
2. Bemerkung: Multiplizieren mit 10
   Wenn man eine Zahl mit 10 multipliziert, ist das Ergebnis diese Zahl mit einer Null auf ihren rechten Seite geschrieben. Das haben wir in der einmaleins-Tabelle gesehen: $\textstyle 2\cdot 10=20\quad 3\cdot 10=30\quad 3\cdot 10=30\$ usw. Leicht denkt man dann, dass das Gleiche mit $\textstyle \ 15\cdot 10$ passiert. Tatsächlich ist $15\cdot 10$ gleich einer $15$ mit einer $0$ dahinter, also $15\cdot 10=150$.

Im Beispiel b ist es möglich, $30$ als Produkt von $3$ und $10$ zu schreiben. Es steht tatsächlich in der einmaleins-Tabelle, dass $\textstyle \ 3\cdot 10=30$ ist, also

$\textstyle \ 30=3\cdot 10$

Daher

$\textstyle \ 5\cdot 30=5\cdot 3\cdot 10=15\cdot 10$

(wir haben gerade eben im Beispiel a gesehen, dass $\textstyle \ 5\cdot 3=15$ ist).

Wir wir in der zweiten Bemerkung (Multiplizieren mit 10) gerade eben gelernt haben, gilt für $\textstyle 15\cdot 10$

$\textstyle 15\cdot 10=150$

Man kann also zusammenfassen:

$\textstyle \ 5\cdot 30=5\cdot 3\cdot 10=15\cdot 10=150$, also $\textstyle \ 5\cdot 30=150$.

Um Beispiel c zu lösen, können wir die erste Bemerkung (Multiplikation mit Klammern) benutzen:

$\textstyle \ 5\cdot 37=5\cdot (30+7)=5\cdot 30+5\cdot 7$ ist

$5\cdot 30=150$

wie wir eben im Beispiel b gesehen haben.

$\textstyle \ 5\cdot 7=35$

wie man aus der Einmaleins-Tabelle ablesen kann. Somit ist

$\textstyle \ 5\cdot 37=5\cdot (30+7)=5\cdot 30+5\cdot 7=150+35=185$,

also

$\textstyle \ 5\cdot 37=185$.

In der gleichen Weise und mit den gleichen Schritten kann man Beispiel d berechnen:

$\textstyle \ 4\cdot 37=4\cdot (30+7)=4\cdot 30+4\cdot 7=120+28=148$,

also

$\textstyle \ 4\cdot 37=148$.

Aber auch Beispiel e ist dann nicht so schwer, man soll einfach eine Null zum Ergebnis von d dazu schreiben, wie wir in der Bemerkung über Multiplikation mit 10 gelernt haben:

$\textstyle \ {\color {blue}4}{\color {red}\mathbf {0} }{\color {blue}\cdot 37}={\color {blue}168}{\color {red}\mathbf {0} }$

Wenn jetzt $37$ mit $45$ multipliziert wird, wie im Beispiel f, dann werden die folgenden Schritte gemacht:

${\begin{alignedat}{2}37\cdot 45&=37(40+5)\\&=37\cdot 40&&+37\cdot 5\\&=1480\ ^{\text{(Bsp. e)}}&&+185\ ^{\text{(Bsp. c)}}\end{alignedat}}$

(Wir haben hier die Ergebnisse aus den Beispielen e und c benutzt)

$1480+185$ ist

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&1&4&8&0\\+&&1&8&5\\\hline &1&6&6&5\\\end{array}}$

wie wir schon bei der Addition gelernt haben. Also:

$37\cdot 45=1665$

Es gibt verschiedene Schreibweisen, die diesen Prozess beschreiben.

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&45&\times &37&\\\hline &1&4&8&0\\+&&1&8&5\\\hline &1&6&6&5\\\end{array}}$	oder	(ohne Null) ${\begin{array}{c|c|c|c|c}&45&\times &37&\\\hline &1&4&8&\\+&&1&8&5\\\hline &1&6&6&5\\\end{array}}$	und
${\begin{array}{c|c|c|c|c}&&45&&\\&\times &37&&\\\hline &&1&8&5\\+&1&4&8&0\\\hline &1&6&6&5\\\end{array}}$	oder	${\begin{array}{c|c|c|c|c}&&45&&\\&\times &37&&\\\hline &&1&8&5\\+&1&4&8&\\\hline &1&6&6&5\\\end{array}}$

Wenn man Kommas hat, lässt man die Kommas und die Nullen am Anfang aus und macht die Multiplikation. Im Beispiel g ($\textstyle \ 0{,}45\cdot 0{,}000037$) haben wir insgesamt 8 Nachkommastellen (zwei bei $\textstyle \ 0{,}\overbrace {45} ^{2\ St.}$ und sechs bei $\textstyle \ 0{,}\overbrace {000037} ^{6\ Stellen}$, also 2+6=8 Stellen nach dem Komma insgesamt). Beim Ergebnis der Multiplikation ohne Kommas ($166{\color {red}5}$) fängt man dann mit der Ziffer rechts (hier ${\color {red}5}$) an und zählt nach links so viele Stellen, wie die gesamten Nachkommastellen (hier 8 Stellen). Dort muss beim neuen Ergebnis das Komma stehen. $1665$ hat aber nur vier Ziffer. Wenn die Zahl weniger Ziffer als die Nachkommastellen hat wie hier, schreibt man erst mehrere Nullen links der Zahl:

$000000001665\qquad \qquad 00000|\overbrace {0001665} ^{7\ Stellen}\qquad$Komma 7 Stellen nach links stellen → $0{,}0001665$

Daher:

$0{,}45\cdot 0{,}000037=0{,}0001665$

Wenn man Nullen am Ende der Zahlen hat, dann lässt man diese Nullen aus. Man macht die Multiplikation und schreibt dann wieder die ausgelassenen Nullen dazu. Im Beispiel h ($450\cdot 37000$) haben wir 4 Nullen (eine bei $650$ und drei bei $38000$). Also zum Ergebnis $1865$ schreibt man noch 4 Nullen dazu: $\textstyle \ 16650000$. Also $450\cdot 37000=18650000$.

Das Folgende Beispiel zeigt die Vorgangsweise genauer und Schritt zum Schritt:

Und noch ein Beispiel, diesmal mit zwei Zahlen mit jeweils drei Ziffern:

Division

Definition der Division

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Division	durch	:  (÷, /)	84      :      7      =	12
(dividieren, teilen)			Dividend : Divisor =	Quotient

Einfache Division mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle

Mit diesem Vorgang kann man Divisionen durchführen, wenn der Divisor höchstens (also kleiner oder gleich) 10 ist und der Dividend höchsten das 10-fache des Divisors (also wenn der Divisor 4 ist, höchsten 40, wenn der Divisor 7 ist, höchstens 70 und so weiter.)

Zum Beispiel 17 : 5

Zeile des Divisors wählen	17 liegt zwischen 15 und 20 Beide Spalten wählen
Schauen, welche Zahlen oben in den Spalten stehen	Von beiden Zahlen (3 und 4) die kleinste wählen. Das ist das Ergebnis 17 : 5 = 3
Aber 3 mal 5 ist doch nicht 17	Es gibt einen Rest. Diesen berechnen wir dann: 3 mal 5 = 15 und 17−15=2 also 17 : 5 = 3 mit Rest 2 Man schreibt: 17:5=3 R 2

Der Haupt(vor)gang der Division

Der Vorgang der Division, wenn der Dividend eine größere Zahl ist, kann durch vier Schritte beschrieben werden:

1. ↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)
2. ÷ was runter steht durch den Divisor dividieren (mit Hilfe der Einmaleinstabelle)
3. × das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
4. − dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren. So berechnet man den Rest der Division (Schritt 2)

So einen Vorgang nennt man in Mathematik (und nicht nur) Algorithmus. Die vier Schritte (↓ ÷ × –) werden wiederholt (so was nennt man Iteration). Wenn der Rest null ist und es kein Ziffer mehr am Dividend gibt, dann hört man auf. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass der Rest nie Null wird. Dieser Fall wird später erklärt.

Am besten versteht man den Vorgang durch ein Beispiel (um ihn zu lernen, muss man selbstverständlich üben...). Probieren wir 792:3 zu berechnen:

Jetzt wird der Vorgang wiederholt!
Jetzt wird der Vorgang noch mal wiederholt!

Was aber man in der Tat schreibt, sieht doch anders aus! Man schreibt nur gewisse Schritte, der Rest macht man im Kopf oder als Nebenrechnung am Rand. Hier die Schritte, wie sie tatsächlich geschrieben werden:

Ein letztes Beispiel:

In diesem Fall sagt man, dass 842 durch 5 gleich 168 mit Rest 2 ist. Man schreibt 842:5=168 R 2. Der Rest muss allerdings immer kleiner als der Divisor sein (auch in den Zwischenschritten), sonst hat etwas nicht richtig geklappt. Die Division kann man allerdings weiterführen, wie wir bald lernen werden.

Dividend mit Nullen am Ende

Wenn der Dividend Nullen am Ende hat, kann man sich ein paar Schritte sparen. Schauen wir ein Beispiel:

Schauen wir jetzt, wie die richtige Regel lautet:

Man kann also die Division aufhören und die restlichen Nullen erst dann schreiben, wenn der Rest zum ersten Mal Null ist!

Wenn der Divisor auch Nullen am Ende hat, kann man vom beiden Divisor und Dividend so viele Nullen streichen, wie die Nullen des Divisors und erst dann die Division durchführen. Beispielsweise ist 7910000:400=79100:4 (in beiden Fällen ist das Ergebnis 19775). Warum das so ist, kann man erst verstehen, wenn man das Kürzen von Brüchen gelernt hat, daher lernen wir es hier zunächst einmal einfach so, als Regel...

Division mit Null in der Mitte des Ergebnisses

Ein Fehler, der oft vorkommt, ist die Nullen in der Mitte des Ergebnisses auszulassen. Im ersten Bild sieht man den richtigen Vorgang.   Für jede Ziffer des Dividenden, die runtergebracht wird, muss eine Ziffer im Ergebnis geschrieben werden!   Das richtige Ergebnis ist daher 2008. Im zweiten Bild sieht man den falschen Vorgang. Selbstverständlich ist 28 nicht gleich 2008 und daher ein falsches Ergebnis!

Division mit Null am Anfang des Ergebnisses

Was ist aber, wenn die Null (oder die Nullen) ganz am Anfang des Ergebnisses stehen? In diesem Fall spielt es keine Rolle, ob die Null da steht oder nicht. 059 bedeutet genau die gleiche Zahl wie 59 (allerdings auch genau wie 59,000 und 00059, auf gar keinen Fall aber wie 590 oder 59000...).   Wenn man Nullen vor dem Anfang einer Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle schreibt, ändert sich die Zahl nicht.   47,03=00047,03=47,030000=0047,03000.   Das gilt allerdings nur für den Anfang der Zahl oder nach der letzten Nachkommastelle. Wenn man Nullen irgendwo in der Mitte der Zahl schreibt, dann hat man nicht mehr die gleiche Zahl. 47,03 ≠ 407,03 ≠ 470,03 ≠ 47,003    Alle diese Zahlen sind nicht gleich! Aus diesem Grund kann man am Anfang (und nur am Anfang) der Division mit den ersten zwei (oder drei und so weiter) Ziffern anfangen, wenn die erste kleiner als der Divisor ist. Dieser Vorgang wird im zweiten Bild dargestellt.

Dividend mit Komma (einfach)

Was ist, wenn der Divident schon Nachkommastellen hat? In diesem Fall wird die Division, wie wir sie bisher gelernt haben, mit einer Änderung durchgeführt:   Wenn zur nächsten Ziffer nach dem Komma gesprungen werden muss, dann muss man erst ein Komma im Ergebnis schreiben.   In unserem Fall ist es nicht wenn man die Ziffer 9 im Dividend erreicht. Das Komma muss geschrieben werden, erst bevor man die nächste Ziffer nach dem Komma (hier die Ziffer 2) runter bringen muss. Erst dann schreibt man das Komma und dann macht man die Rechnung (12:3) und dann schreibt man das Ergebnis dieser Rechnung (4) nach dem Komma. Es gibt kein anderes Komma in der Zahl (also auf gar keinen Fall irgendwo ein zweites Komma schreiben). Eine Bemerkung noch: Den letzten Rest haben wird hier mit (R) in Klammern geschrieben. Den Begriff Rest benutzt man eigentlich bei ganzzahligen Divisionen (mit Zahlen ohne Nachkommastellen). 0 ist hier der Teilrest der letzten Teildivision (12:4=3 R 0). Wenn bei einer Division mit Nachkommastellen im Ergebnis Teilrest 0 hat, kann man mit der Division aufhören. Das ist allerdings nur selten der Fall, wie wir gleich lernen werden.

Divisor mit Komma (einfach)

Was ist, wenn der Divisor Nachkommastellen hat, wie zum Beispiel in 236,2875:0,5? In diesem Fall wird das Komma sowohl im Divisor als auch im Dividenden so oft nach rechts verschoben, bis der Divisor keine (notwendige) Kommastelle mehr hat. In unserem Beispiel, wenn das Komma im Divisor (0,5) ein Mal nach rechts verschoben wird, bekommt man die Zahl 5, die keine Nachkommastellen hat. Das Komma wird dann auch im Dividenden (236,2875) ein Mal nach rechts verschoben (also der neue Dividend wird 2362,875 sein). Mit diesen neuen Zahlen kann man die Division ganz normal fortführen, wie im Bild am Rand. Der Prozess ist also:

Komma in Divisor verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:$0{\color {red},}5\ \to \ 0\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}5{,}} _{1\ mal}...\ \to \ 5$ → Komma genauso oft (hier einmal) im Divident verschieben: $236{\color {red},}2875\ \to \ 236\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}2{,}} _{1\ mal}875\ \to \ 2362{,}875\$ → Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Was ist, wenn der Dividend keine Nachkommastellen hat, beispielsweise 205:0,04?

In diesem Fall denkt man, dass ein Komma am Ende des Dividenden steht, und schreibt so viele Nullen wie notwendig nach dem Komma: 205=205,00 (allerdings gilt auch 205=205,00000 und so weiter). Dann wird der Vorgang wie vorher durchgeführt:

Komma im Divisor verschieben: $0{\color {red},}04\to 0\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}04{,}} _{2\ mal}\to 4$ → Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:$205{\color {red},}00\ \to \ 205\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}00{,}} _{2\ mal}...\ \to \ 20500\$ → Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Ein letztes Beispiel: 205:0,0004. Hier muss man das Komma sogar viermal verschieben:

Komma im Divisor verschieben: $0{\color {red},}0004\ \to \ 0\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}0004{,}} _{4\ mal}...\ \to \ 4$\ → Komma genauso oft (hier zweimal) im Dividenden verschieben, bis er keine Nachkommastelle hat:$205{\color {red},}000000\ \to \ 205\underbrace {_{\color {red}{\xcancel {,}}}0000{,}} _{4\ mal}...\ \to \ 2050000\$ → Division mit den neuen Zahlen durchführen (siehe Bild)

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (mit Null Rest)

Was ist, wenn die Division nicht genau aufgeht. wie zum Beispiel in 935:4?

		In diesem Beispiel ist es klar, dass ein Rest geben wird. Die Division kann man aber doch weiter fortsetzen, wie wir bei Zahlen mit Nachkommastellen schon gelernt haben. In diesem Beispiel können wir 935 als Zahl mit Nachkommastellen schreiben (freilich alle Nullen), wie wir schon gelernt haben: 935=935,00... Dann führen wir die Division in der gewöhnlichen Weise durch (siehe Bild). Allerdings kann man in diesem Fall die Nullen im Dividenden gar nicht schreiben, wie im Bild links unten zu sehen ist. In diesem Fall werden Nullen weiter unten geschrieben, bis der Teilrest irgendwann Null wird. Vorsicht aber: Wenn der Dividend zu Ende ist und die erste Null dazu benutzt wird, muss man ein Komma im Ergebnis schreiben!
			Diesen Prozess (weiter Nullen schreiben) kann man auch benutzen, wenn der Dividend zwar schon Nachkommastellen hat, der Teilrest am Ende aber doch nicht Null ist. In diesem Fall schreibt man Nullen weiter, selbstverständlich ohne ein zweites Komma im Ergebnis zu schreiben!

Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (periodisch)

Bisher war es fast immer in den Beispielen so, dass der Teilrest am Ende Null war. Das war kein Zufall, die Beispiele wurden einfach so gewählt, damit sie verständlicher sind. In der Regel ist der Teilrest keine genaue Zahl. Probieren wir es mit dem folgenden Beispiel:

Wie wir schon gelernt haben, wenn man das Ende der Zahl erreicht und keine Ziffer mehr hat, kann man doch die Division weiterführen: erst eine Null im Ergebnis schreiben und dann eine Null jedes Mal dazuschreiben, bis irgendwann der Teilrest Null wird. In unserem Fall hier passiert so etwas aber nicht. Wie man sieht, wiederholen sich die Zahlen 2 und 7 immer wieder und, wie man hoffentlich versteht, das wird immer so bleiben. Wir haben hier diese Wiederholung mit verschiedenen Farben dargestellt. Die wiederholte Zifferreihenfolge nennt man Periode. Man sagt, dass das Ergebnis von 938 durch 11 gleich 85 Komma 27 periodisch ist. Man bezeichnet die Periode mit einem Strich über der Zifferreihenfolge (oder mit einem Punkt, wenn es nur eine Ziffer ist). Man schreibt also: $938:11=85{,}{\overline {27}}$

Man braucht die Division nicht weiterführen. Wann kann man aber genau damit aufhören? Wenn man schon mit Null hinzufügen angefangen hat (passiert hier bei der letzten Ziffer der Zahl 938) und der gleiche Teildividend vorkommt, dann kann man aufhören, wie im Bild hier

Division Kombinationen

Hier finden wir ein paar weiterführende Beispiele zur Vertiefung der Kenntnissen.

Probieren wir erst die Division 3706,1:0,00007. Wenn der Divisor ein Komma hat (wie hier 0,00007), dann muss man das Komma sowohl im Divisor also auch im Dividenden so oft nach rechts verstellen, bis der Divisor keine Nachkommastellen mehr hat. Falls der Dividend dann nicht genügende Nachkommastellen hat, werden sie mit Nullen nachgefüllt. Daher ist 3706,1:0,00007 gleich so viel wie 370610000:7

3706,1:0,00007=370610000:7

Letztere Division führen wir auch im Bild durch. Wir fangen dann mit dem Hauptvorgang (in verkürzter Darstellung) an. Da die erste Stelle des Dividenden (3) kleiner als der Divisor ist, kann man weitere Ziffer des Dividenden benutzen (also 37), weil Nullen am Anfang des Ergebnisses (und nur dort) keine Rolle spielen. Diese zwei Stellen wurden mit Hellblau markiert. Da, wo die rote Stelle und der rote rechts-Pfeil im Bild ist, kann man weitere Nullen einführen, nachdem erst ein Komma im Ergebnis geschrieben wird (roter nach-oben-Pfeil und Komma im Ergebnis). Mit Lila (um dem Teildividenden 30) wird darauf aufmerksam gemacht, dass das Ergebnis doch periodisch ist (also der Teildividend 30 und alle andere Teildividenten, die nach ihm kommen, in der gleichen Reihe immer wiederholt vorkommen). Die Periode, wie im Ergebnis wieder mit Lila notiert, ist die Zifferfolge 428591.

Da man aber die Periode im Ergebnis erst nach dem Komma notiert wird, schreibt man nicht

$3706,1:0,00007=5295{\overline {4285{,}91}}\$ (falsch), sondern

$3706,1:0,00007=52954285{,}{\overline {914285}}\$ (richtig).

Im vorherigen Beispiel haben wir eine Division durch 11 gesehen. Da bestand die Periode aus zwei Ziffern (27). Im letzten Beispiel (Division durch 7) bestand die Periode aus sechs Ziffern (914285). Bei einer anderen Division (durch 4), gab es wieder keine Periode. Es kann also eine Periode geben oder nicht, und sie kann lang oder kurz sein. Im folgenden Beispiel (938:23) haben wir die Periode nicht mal angegeben, da sie schon aus 22 Ziffern(!) besteht. Es gibt einen Beweis dafür, dass wenn der Divisor und der Dividend ganze Zahlen sind (oder sein können), immer eine Periode entsteht (also eine wiederholte Reihenfolge von Ziffern nach dem Komma) oder ein Teilrest Null (also die Division kann aufhören). Diese Periode kann sehr lang sein, es gibt sie aber in diesem Fall immer.

Im folgenden Beispiel lernen wir allerdings auch dazu genauer, wie man die Division durchführt, wenn der Divisor größer als 10 ist. Wir haben schon eine solche Division gesehen, aber noch nicht erklärt, wie das funktioniert.

Grundsätzlich gibt es hier nichts Neues. Man soll wieder die Grundschritten durchführen:

↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)

÷ was runter Steht durch den Divisor dividieren ("wie oft der Divisor in den Teildividenden hineinpasst")

× das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren

− dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren.

Nun aber werden diese Schritte irgendwo am Rand durchgeführt und jeweils unter dem Teildividenden das Ergebnis der Subtraktion am Ende geschrieben.

Schritt ↓ Ziffer runter: Weil die erste Ziffer im Dividend (9) kleiner als der Divisor (23) ist, nehmen wir am Anfang die ersten zwei Ziffer des Dividenden (93)

Schritt ÷ dividieren: 23 passt in 93 viermal hinein (das kann man allerdings bei größeren Zahlen nur raten und ausprobieren). Wie erste Ziffer des Ergebnisses wird daher 4 sein.

Schritt × multiplizieren: Die letzte Ziffer des Ergebnisse (4) wird mit dem Divisor multipliziert: 4×23=92.

Schritt − subtrahieren: Das Ergebnis der Multiplikation (92) wird aus dem vorläufigen Teildividenden (93) subtrahiert (93−92=1). Allein das Ergebnis der Subtraktion (hier 1) wird dann unter den Teildividenden geschrieben. Im Bild haben wir allerdings die zwei letzten Schritten am Rand links zusammengefasst (93−4×23=1).

Diese Schritte werden dann wiederholt, bis man irgendwann die Periode entdeckt. Hier haben wir allerdings schon ziemlich bald aufgehört (wie schon erwähnt, ist die Periode in diesem Beispiel sehr lang...).

Im folgenden Beispiel ist der Divisor wieder größer als 10, wir haben aber hier die Teilschritte des Hauptvorgangs (↓ ÷ × −) nicht am Rand geschrieben. Die Division lautet 4,52:1,3, man soll also erst das Komma verschieben: 4,52:1,3=45,2:13. Letztere Division wird im Bild gezeigt. Wieder muss man mit zwei Ziffern anfangen. Sofort nach der ersten Ziffer im Ergebnis muss man ein Komma schreiben (roter Pfeil). Und wieder gibt es eine Periode (wenn der Teildividend 100 wiederholt wird), die Ziffernfolge 769230. Die Periode besteht hier (wie bei der Division durch 7 am Anfang dieses Teilkapitels) aus sechs Ziffern. Also $\ 4,52:1,3=3{,}4{\overline {769230}}$. Hier ist zu beachten, dass nicht alle Ziffern nach dem Komma die Periode sind! Die Periode fängt in diesem Fall erst nach der ersten Nachkommastelle an.

Wenn allerdings die Division 0,0452:13 durchgeführt wird, muss man im Ergebnis schon mit Null und Komma anfangen (Bild links)! Der Rest des Vorgangs bleibt unverändert. Vorsicht aber: in diesem Fall (wenn Komma schon am Anfang steht), darf man Nullen nicht auslassen! Die Periode allerdings fängt in diesem Fall noch weitere Stellen nach dem Komma an: $0{,}0452:13=0{,}00034{\overline {769230}}$.

Bei der Division 330,103:11 (links) finden wir noch ein paar Neuigkeiten. Die Periode besteht zwar wieder aus zwei Ziffern wie in der vorherigen Division durch 11, diesmal sind es aber die Ziffern 36 (und nicht 27). Es gibt in dieser Division einige Nullen dazwischen, die man selbstverständlich NICHT auslassen darf und dazu ein Komma unter diesen Nullen.

Bei der Division 391,204:11 (rechts) stellt man fest, dass die Division durch 11 sogar auch genau ausgehen kann (das stimmt ja für alle Divisoren, die ganzzahlig, also ohne Komma, sind). Wenn der Teilrest Null ist, ist der Vorgang fertig. Wann die Division durch bestimmte Zahlen genau aufgeht, lernt man im Kapitel über Teilbarkeit.

Im letzten Beispiel können wir sehen, dass die Periode auch nur eine Ziffer sein kann (hier 6). In diesem Beispiel fängt die Periode wieder erst an der dritten Nachkommastelle an. Man schreibt: $7,43:3=2,47{\dot {6}}$

Punktrechnungen mit 10, 100, 1000 und so weiter

• Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter multipliziert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach rechts (die Zahl wird größer), so oft, wie es Nullen gibt:

3,45 · 10 = 34,5    (Mal 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach rechts verschoben)

54 · 10000 = 54,0000 · 10000 = 540000    (Mal 10000; in 10000 gibt es vier Nullen, Komma wird 4 Mal nach rechts verschoben; Allerdings gibt es kein Komma am Ende der Zahl 54; man schreibt ein Komma am Ende der Zahl und dazu nach dem Komma so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)

0,008 · 100 = 0,8    (Mal 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach rechts verschoben)

• Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter dividiert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach links (die Zahl wird kleiner), so oft, wie es Nullen gibt:

3,45:10 = 0,345    (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 3,4 keine Null, man schreibt also links von der Zahl so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)

54:10000 = 0,0054    (Durch 10000; in 10000 gibt es 4 Nullen, Komma wird 4 Mal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 54 kein Komma, man schreibt also links von der Zahl ein Komma und so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)

0,008:100 = 0,00008    (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird 1 Mal nach links verschoben; allerdings muss man zuerst am Ende der Kommazahl weitere Nullen schreiben)

900000:100 = 9000,00 = 9000    (Durch 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach links verschoben; da es kein Komma am Ende der Zahl gibt, muss man erst das Komma schreiben)

Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Addition	plus	+	$2$        $+$      $7$      $=$	$9$
(addieren, erhöhen)			Summand $+$ Summand $=$	Summe
Subtraktion	minus	−	$65$      $-$      $22$      $=$	$43$
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend $-$ Subtrahend $=$	Differenz
Multiplikation	mal	⋅  (×)	$9$      $\cdot$      $13$      $=$	$117$
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor  ⋅  Faktor $=$	Produkt
Division	durch	:  (÷, /)	$84$      $:$      $7$      $=$	$12$
(dividieren, teilen)			Dividend $:$ Divisor $=$	Quotient

Mit den Grundrechenarten kann man auch Textaufgaben bilden. Bei diesen Aufgaben ist in der Regel die Bedeutung der Wörter nicht so wichtig, wie der Aufbau des Satzes:

• Dividieren Sie die Differenz von 125 und 20 mit der Summe von 4 und 3.

Schauen wir mal, wie der Satz aufgebaut ist. Erst steht, dass man dividieren muss (also durch machen). Was muss man aber dividieren? Was steht nach dem Wort dividieren? Die Zahlen 125 und 20? NEIN! Nach dem Wort dividieren (durch machen) steht das Wort Differenz! Man muss also erst eine Differenz berechnen! Welche Differenz? Die Differenz von 125 und 20(was nach dem Wort Differenz steht)! Das steht ja auch da! Die Differenz (Minus) von 125 und 20 ist 125−20=105. Diese Differenz muss man durch irgendwas dividieren. Ist das durch 4, durch 3 oder doch was anderes? Doch was anderes! Die Differenz muss man mit der Summe (Plus machen) dividieren. Man muss also erst eine Summe berechnen, die Summe von 4 und 3 (was nach dem Wort Summe steht), 4+3=7. Man soll also die Differenz (105) durch die Summe (7) dividieren:

105:7=15. 15 ist also die Antwort zur Aufgabe!

Sachaufgaben zu den Grundrechenarten

Vorrang der Rechenarten

Grundrechenartenvorrang

Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

$6+3-7+5$:

• Wenn man von links nach rechts liest, dann: $\ 6+3=9,\ 9-7=2,\ 2+5=7\quad$ also Ergebnis 7.
• Wenn man von rechts nach links liest, dann: $\ {\overleftarrow {{\color {red}12}=7+5}},\ {\overleftarrow {{\color {lime}9}=3-{\color {red}12}}},\ {\overleftarrow {15=6+{\color {lime}9}}}\quad$ also Ergebnis 15.

Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:

$6+5+11=5+6+11=11+5+6=5+11+6=22$

$2\cdot 4\cdot 5=4\cdot 2\cdot 5=2\cdot 5\cdot 4=40$

In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.

Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?

$2+3\cdot 4$

Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$

Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation: $2+4\cdot 3$

und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis: $2+4=6\ \to \ 6\cdot 3=18$

Es gilt auch:

• Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$
• Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis: $3\cdot 4=12\ \to 2+12=14$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:

$2+3\cdot 4\$ und $\ 3+2\cdot 4$

Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:

$2+3\cdot 4\ =2+12=14\$ und $\ 3+2\cdot 4=3+8=11$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!

Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:

$(2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20\$ Hier ist das Ergebnis doch $20$

$2+(3\cdot 4)=2+12=14\$ ...und hier ist das Ergebnis wieder $14$.

Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:

Klammer vor Punkt vor Strich.

(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)

Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:

$5+36:(3\cdot 5-6)-(56:7-2)\cdot 3=?$

Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:

$5+$	$36:$	${\underline {({\underline {3\cdot 5}}-6)}}\ -$	${\underline {({\underline {56:7}}-2)}}$	$\cdot 3$	$=$	In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
		$15-6\quad$	$8-2$			und dann die Strichrechnung in Klammer
		$9$	$6$			Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen

$5+$	$36:$	${\cancelto {9}{(3\cdot 5-6)}}\ -$	${\cancelto {6}{(56:7-2)}}$	$\cdot 3=$
$5+$	$36:$	$9-$	$6$	$\cdot 3=$	Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:

$5+36:9-6\cdot 3\qquad \qquad$ Hier muss man erst die Punktrechnungen machen

$5+{\cancelto {4}{36:9}}-{\cancelto {18}{6\cdot 3}}=$

$5+4-18=-9$

Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:

Alle Schritte kompakt dargestellt: ${\begin{array}{c}5+36:\underbrace {(\underbrace {3\cdot 5} _{15}-6)} _{9}-\underbrace {(\underbrace {56:7} _{8}-2)} _{6}\cdot 3=\\5+\underbrace {36:9} _{4}-\underbrace {6\cdot 3} _{18}=\\5+4-18=-9\end{array}}$

Vorrang mit Klammern in Klammern

$5+6\cdot 7-55:$	$(21-4\cdot 8)$	$-3\cdot$	$[7+$	$2\cdot (6\cdot 3-39:3)]$	$-57$	$=$	In der großen Klammer hat die kleine Klammer Vorrang (Klammer vor Punkt vor Strich)
	↓		$7+$	$2\cdot (18-13)$			In der kleinen Klammer erst Punkt und dann Strichrechnung
	↓		7   +   $2\cdot 5$				Kleine Klammer durch ihr Ergebnis in der großen Klammer ersetzen
	$21-32$		$7$   +   $10$				In den verbliebenen Klammern erst Punkt- und dann Strichrechnungen
	$-11$		$17$				Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen

${\begin{array}{c}5+6\cdot 7-55:{\cancelto {21-32=-11}{(21-4\cdot 8)}}-3\cdot \underbrace {{\Bigl [}7+{\color {blue}\overbrace {2\cdot {\color {red}({\cancelto {18}{6\cdot 3}}-{\cancelto {13}{39:3)}}}} ^{2\cdot {\color {red}{\cancelto {5}{(18-13)}}}=\ \ 10}{\color {black}{\Bigr ]}}}} _{7+{\color {blue}10}=17}-57=\\\\5+{\cancelto {42}{6\cdot 7}}-{\cancelto {-5}{55:(-11)}}+{\cancelto {51}{3\cdot 17}}-57\\\\5+42+5-51-57=-56\end{array}}$

(an Plus-Minus Regeln halten!)

(an Plus-Minus Regeln halten!)

Vorrang von mehreren Rechenarten

Bruchrechnungen

Was ist ein Bruch?

Bruch:    $\textstyle {\begin{array}{ccc}10&\leftarrow {\text{Zähler}}\\{\boldsymbol {-}}&\leftarrow \mathrm {Bruchstrich} \\5&\leftarrow \mathrm {Nenner} \end{array}}$    

Es gilt:   $\textstyle {\frac {10}{5}}=10:5=2$   (Ein Bruch ist wie eine Division)

Unterschied: Ein Bruch ist eine Zahl. Eine Division ist eine Rechenart zwischen zwei Zahlen.

Echter Bruch: Wenn der Nenner größer als der Zähler ist: $\textstyle {\frac {5}{11}}$

Unechter Bruch: Wenn der Zähler größer als der Nenner ist: $\textstyle {\frac {11}{5}}$

Gleichnamige Brüche: Brüche, die den gleichen Nenner haben (z.B. $\textstyle {\frac {10}{5}}$,  $\textstyle {\frac {3}{5}}$ aber NICHT $\textstyle {\frac {5}{10}}$ und $\textstyle {\frac {5}{9}}$, wo der Zähler gleich ist, oder $\textstyle {\frac {10}{5}}$ und $\textstyle {\frac {5}{9}}$)

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch:  $\textstyle 6{\frac {4}{5}}$

Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln

Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, multipliziert man die natürliche Zahl mit dem Nenner des Bruches und addiert das Ergebnis zum Zähler. Das neue Ergebnis ist dann der Zähler des neuen Bruches, der Nenner bleibt der gleiche:

$6{\frac {4}{5}}={\frac {6\cdot 5+4}{5}}={\frac {34}{5}}$

Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler mit dem Nenner (ohne Nachkommastellen). Das Ergebnis der Division ist der „Zahlteil“ der gemischten Zahl, der Rest ist der Zähler des „Bruchteils“, der Nenner bleibt der gleiche:

    (siehe Division)

Folgendes Beispiel setzt die Anwendung eines Taschenrechners voraus:

${\frac {1895}{23}}=?\qquad \qquad {\begin{array}{rrl}1895&:{\boldsymbol {2}}3&={\color {red}{\boldsymbol {8}}2}{,}\dots \\\ {\color {red}{\boldsymbol {8}}2}&\cdot \ {\boldsymbol {2}}3&={\color {YellowOrange}1886}\\1895&-{\color {YellowOrange}1886}&={\color {blue}{\boldsymbol {9}}}\end{array}}\qquad \qquad {\text{ also }}\quad {\frac {1895}{23}}={\color {red}{\boldsymbol {8}}2}{\frac {\color {blue}{\boldsymbol {9}}}{{\boldsymbol {2}}3}}$

Eintausend-achthundert-fünfundneunzig Dreiundzwanzigstel sind so viel wie zweiundachtzig Ganzen und neun Zwanzigstel.

Das Ergebnis der Division 1895:23 mit dem Taschenrechner ist 82 Komma einige Nachkommastellen. Dieses Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird die ganze Zahl in der gemischte Zahl sein. Das Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird dann mit den Nenner (hier 23) multipliziert: 82·23=1886. Dieses Produkt (1886) wird dann vom Zähler (1895) subtrahiert: 1895-1886=9. Diese Differenz (9) stellt den neuen Zähler in der gemischten Zahl dar, der Nenner bleibt unverändert (23).

Der Prozess also mit Anwendung eines Taschenrechners könnte so aussehen:

${\frac {1895}{23}}=?$

Division mit dem Taschenrechner durchführen (1895:23=82 Komma einige Nachkommastellen). Ergebnis nach dem Gleichzeichen samt Bruchstrich und Nenner (23) schreiben:

${\frac {\color {red}1895}{23}}={\color {red}81}{\frac {?}{\color {red}23}}$

Die Diagonale (hier oben mit roten Zahlen markiert:) Zähler links (1895) minus ganze Zahl (81) mal Nenner rechts (23) wie im folgenden benutzen und Ergebnis in den Zähler rechts schreiben:

$1895-81\cdot 23={\color {red}9}$

also

${\frac {1895}{23}}=81{\frac {\color {red}9}{23}}$

Erweitern und Kürzen

Erweitern

Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {4}{7}}={\frac {4\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {20}{35}}$

Bruchkürzen

Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {12}{8}}={\frac {12:4}{8:4}}={\frac {3}{2}}$

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens

7 2         5

Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im $5$ geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches $\textstyle \ {\frac {2}{5}}$. Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in $5$ (waagerecht) sondern auch in $7$ (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen $\ 5\cdot 7=35\$ kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher $\textstyle \ {\frac {1}{35}}\$ des Ganzen. Die dunkle Region ($\textstyle \ {\frac {2}{5}}$) beinhaltet allerdings $\ 2\cdot 7=14\$ solche "Quadrate" also $\textstyle \ {\frac {14}{35}}$. Man folgt daraus, dass $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {14}{35}}\$ ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier $7$) multipliziert: $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 7}{5\cdot 7}}={\frac {14}{35}}\$. Diesen Prozess nennt man erweitern.

Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in $5$ Zeilen und $7$ Spalten also insgesamt in $\ 7\cdot 5=35\$ kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist $\ 3\cdot 5=15\$ solche Teile, also $\textstyle \ {\frac {15}{35}}$. Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in $7$ (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region $3$ Spalten davon ist also $\textstyle \ {\frac {3}{7}}$. In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier $5$) dividiert: $\textstyle \ {\frac {15}{35}}={\frac {15:5}{35:5}}={\frac {3}{7}}$. Diesen Prozess nennt man kürzen.

Strich und Punkt Bruchrechnungen

Strichbruchrechnungen

Wenn man zwei Brüche addiert oder subtrahiert, dann muss man auf den Nenner aufpassen:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern (blaue Pfeile) und entsprechend für den zweiten Bruch (rote Pfeile)!

$={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}$$={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Erklärung der Strichbruchrechnungen

Wenn man den gleichen Nenner hat, ist es leicht mit einer Figur zu verstehen, warum die angegebene Regel gilt. Man kann sehen:

wenn zwei gleiche Schokoladentafeln in 7 geteilt werden und von einer Schokoladentafel 3 Teile (drei Siebtel) und von der anderen 2 Teile (zwei Siebtel) genommen werden, hat man insgesamt 5 Teile (also fünf Siebtel).

Was ist aber, wenn man nicht den gleichen Nenner hat (ungleichnamige Brüche), wie z.B. mit $\textstyle \ {\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}$ ?

• 
• 

Das Ergebnis ist:

$\ {\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}={\frac {2\cdot 7+5\cdot 3}{5\cdot 7}}={\frac {29}{35}}.$

Um dies zu zeigen, haben wir das erste Rechteck horizontal in 5 Teile geteilt und das zweite senkrecht in 7. Wir teilen jetzt dazu die erste Figur auch in 7 senkrechte Teile und die zweite in 5 horizontale:

• 
• 

Wir haben in jedem der beiden (gleichen) Rechtecken 5 mal sieben, also 35 kleine Quadrate. Jedes kleines Quadrat in den neuen Figuren ist daher $\textstyle \ {\frac {1}{35}}\$ des Ganzen. Wie man sehen kann, sind die $\textstyle {\frac {2}{5}}\$ gleich so viel wie $\textstyle \ {\frac {2\cdot 7}{5\cdot 7}}={\frac {14}{35}}\$ und die $\textstyle \ {\frac {3}{7}}\$ gleich so viel wie $\textstyle \ {\frac {3\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {15}{35}}.\$ Da wir jetzt gleichnamigen Brüchen haben, kann man die Zähler addieren:

${\frac {2}{5}}+{\frac {3}{7}}={\frac {2\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {3\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {14}{35}}+{\frac {15}{35}}={\frac {14+15}{35}}={\frac {29}{35}}$

Aus unserer alltäglichen Erfahrung können wir vermuten, dass wir diesen Vorgang auch bei allen anderen Paaren von ungleichnamigen Brüchen übertragen können (wenn auch mit viel mehr Aufwand für größeren Nennern). Das können wir dann auch auf mehrere Brüche übertragen, da wir den Vorgang erst am ersten Paar anwenden können und dann mit dem Ergebnis mit dem nächsten Bruch arbeiten können usw. Dies gilt auch für die Subtraktion von Brüchen (wenn das Ergebnis positiv ist).

Punktbruchrechnungen

Bei einer Multiplikation zwischen zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner (Oben mal Oben, Unten mal Unten):

${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 7}}={\frac {15}{28}}$

Bei der Division von zwei Brüchen multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweitens Bruches:

${\frac {5}{4}}:{\frac {3}{7}}={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{3}}={\frac {5\cdot 7}{4\cdot 3}}={\frac {35}{12}}$   ($\textstyle {\frac {7}{3}}$ ist der Kehrwert von  $\textstyle {\frac {3}{7}}$)

Hier spielt der Nenner keine Rolle (im Gegenteil zu den Strichrechnungen).

Erklärung der Punktbruchrechnungen

Doppelbrüche

Ein Doppelbruch ist wie die Division zwischen zwei Brüchen. Der Bruch oben wird durch den Bruch unten dividiert, also mit dem Kehrwert des Bruches unten multipliziert:

${\dfrac {\ \ {\frac {7}{12}}\ \ }{\frac {3}{20}}}={\frac {7}{12}}:{\frac {3}{20}}={\frac {7}{\cancelto {3}{12}}}\cdot {\frac {\cancelto {5}{20}}{3}}={\frac {35}{9}}$

Arbeiten mit ganzen Zahlen und Brüchen

Die Rechnungen mit ganzen Zahlen und Brüchen sind leicht, wenn man den vorherigen Stoff schon verstanden hat.

Strichrechnungen

Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, reicht das Produkt der ganzen Zahl mit dem Nenner des Bruches als Zähler im Bruch zu schreiben:

$3={\frac {5\cdot 3}{5}}={\frac {15}{5}}$

Das sollte schon klar sein, da 15:5=3 ist... Um das zu veranschaulichen reicht es 3 ganzen jeweils in 5 geteilt nebeneinander zu stellen. Dann werden genau 3×5=15 Fünftel aufgezählt!

Hat man einmal die ganze Zahl als (gleichnamigen) Bruch, kann man auch eine entsprechende Strichrechnung durchführen, z.B.:

$3+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{7}}+{\frac {2}{7}}={\frac {23}{7}}\qquad \qquad 5-{\frac {5}{9}}={\frac {5\cdot 9}{9}}-{\frac {5}{9}}={\frac {40}{9}}$

Punktrechnungen

Genau so leicht ist die entsprechende Multiplikation. Im ersten Bild werden zwei Fünftel dargestellt und diese werden 4 mal nebeneinander dargestellt. Insgesamt sind es daher 4×2=8 Fünftel.

$4\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {4\cdot 2}{5}}={\frac {8}{5}}$

Um das Produkt einer ganzen Zahl mit einem Bruch zu berechnen, reicht es das Produkt der ganzen Zahl mit dem Zähler des Bruches in einem neuen gleichnamigen Bruch zu schreiben.

Die Division ist dann auch leicht:

$4:{\frac {3}{13}}=4\cdot {\frac {13}{3}}={\frac {52}{3}}\ (=17{\frac {1}{3}})$

Um den Quotient einer ganzen Zahl durch einem Bruch zu berechnen, reicht es das Produkt der ganzen Zahl mit dem Kehrwert des Bruches zu berechnen.

Bruchrechnungen und Vorrang

Bei Kombinationen von Bruchrechnungen muss man auf der Reihenfolge (siehe Vorrang der Rechenarten) aufpassen:

${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$

Man muss zuerst die Klammern machen:

• Erste Klammer

${\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}={\frac {6-9}{7}}=-{\frac {3}{7}}$   Hier haben wir nur eine Strichrechnung und zwar mit dem gleichen Nenner.

• Zweite Klammer

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}$      Hier müssen wir erst die Punktrechnung machen und dann die Strichrechnung.

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}\cdot {\frac {7}{4}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16\cdot 7}{21\cdot 4}}$      Hier soll man erst kürzen.

${\frac {2}{5}}-{\frac {{\cancelto {4}{16}}\cdot 7}{21\cdot {\cancelto {1}{4}}}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4\cdot {\cancelto {1}{7}}}{{\cancelto {3}{21}}\cdot 1}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4}{3}}$   $\textstyle \left(^{\text{Vorgang: }}{\frac {2}{5}}{\underline {\xcancel {-}}}{\frac {4}{3}}\right)$  $={\frac {2\cdot 3-4\cdot 5}{5\cdot 3}}={\frac {6-20}{15}}=-{\frac {14}{15}}$

Jetzt kann man in der Rechnung die Ergebnisse für die Klammern einsetzen:

${\frac {2}{3}}+{\cancelto {-{\frac {3}{7}}}{\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)}}\cdot {\cancelto {-{\frac {14}{15}}}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)}}=$

${\frac {2}{3}}+\left(-{\frac {3}{7}}\right)\cdot \left(-{\frac {14}{15}}\right)$$^{\text{(minus mal minus ist plus)}}=$

${\frac {2}{3}}+{\frac {{\cancelto {1}{3}}\cdot {\cancelto {2}{14}}}{{\cancelto {1}{7}}\cdot {\cancelto {5}{15}}}}$$^{\text{(hier erst kürzen)}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 5}}={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{5}}=$

${\frac {2\cdot 5+2\cdot 3}{3\cdot 5}}={\frac {16}{15}}$

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

Die Textaufgaben mit Bruchrechnungen werden i.d.R. leicht in die mathematische Sprache umgewandelt:

In einem Staat mit 8,46 Millionen Einwohner trinkt jeder Einwohner durchschnittlich vier Neuntel Liter Milch täglich.

1. 1. Wie viel Liter werden dann täglich konsumiert?
   2. Der Gewinn für die Eigentümer ist 0,8¢/Liter Milch. Wie viel ist der tägliche Gewinn? Finden Sie ihn gerechtfertigt?
2. Im einem anderen Staat gibt es 4 Supermarktketten. Zusammen gewinnen die Eigentümer 105000€ täglich. Eigentümer A bekommt zwei Fünftel des Gewinns, Eigentümer B ein Drittel und den Rest teilen die anderen zwei Eigentümer C und D. Wie viel gewinnt täglich jeder Eigentümer? Finden Sie den Gewinn gerechtfertigt?

Aufgabe a lässt sich leicht berechnen:

$8{,}46\cdot {\frac {4}{9}}=3,76\ {\text{(Millionen Liter)}}$

Da der Gewinn pro Liter 0,8¢ ist, soll man 0,8 mit 3,76 Mil. multiplizieren (dann hat man ¢) und dann durch 100 dividieren (dann hat man €):

$3{,}76\cdot {\frac {0{,}8\cdot 1000000}{100}}=30080\ {\text{(€)}}$

Ob dieser Gewinn gerechtfertigt ist, soll jeder für sich entscheiden (die Eigentümer werden ihn sicherlich gerechtfertigt finden, sonst würden sie ihn nicht machen...).

Aufgabe b ist ebenfalls nicht besonders schwer:

Eigentümer A: $105000\cdot {\frac {2}{5}}=44000\ {\text{(€)}}$

Eigentümer B: $105000\cdot {\frac {1}{3}}=35000\ {\text{(€)}}$

Eigentümer C und D teilen den Rest: $105000-44000-35000=26000\qquad 26000:2=13000\ {\text{(€ jeweils für Eigentümer C und D)}}$

Primfaktorzerlegung

Was sind Primzahlen

Primzahlen sind die natürlichen Zahlen (Zahlen ohne Komma und Minus), die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. (teilbar: dividieren, ohne dass eine Kommazahl entsteht)

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
geht auch durch			2		2 3		2 4	3	2 5		2 3 4 6
Prim- zahl	✔	✔	✘	✔	✘	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✔

Z.B.:

2 ist nur durch 2 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

3 ist nur durch 3 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

4 ist nur durch 4 und 1, aber auch durch 2 teilbar und daher keine Primzahl.

5 ist nur durch 5 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

6 ist nur durch 6 und 1, aber auch durch 2 und 3 teilbar und daher keine Primzahl.

usw.

Was bedeutet in diesen Sätzen "teilbar"? Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division kein Nachkommastellen enthält.

Nehmen wir die Zahl 5.

$5:1=5$

$5:2=2{,}5$

$5:3=1{,}{\dot {3}}$ 

$5:4=1{,}25$

$5:5=1$

Dividiert man 5 durch jede größere natürlich Zahl (also: 6,7,8…), erhält man als Ergebnis eine Kommazahl kleiner als 1 (also Null-Komma-irgendwas). Beispielsweise:

$5:6=0{,}8{\dot {3}}$

Teilbar ist die Zahl 5 also nur durch eins (5:1=5) und sich selbst (5:5=1). Da bei unserem Beispiel alle anderen Ergebnisse ein Komma enthalten ist die Zahl 5 eine Primzahl.

Für 6 hingegen ist das nicht der Fall. 6 ist selbstverständlich durch 1 und 6 teilbar, aber eben auch durch 2 (6:2=3) und durch 3 (6:3=2). Daher ist 6 KEINE Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...

Faktor ist ein Teil einer Multiplikation.

Primfaktorzerlegung (PFZ) bedeutet daher, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken (die dann Faktoren sind; Primzahlen die auch Faktoren sind, nennt man Primfaktoren; wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat man die PFZ).

Primfaktorzerlegung Vorgangsweise

Nehmen wir die Zahl 7800. Wir versuchen sie durch die Primzahlen der Reihe nach und soweit es jedes Mal geht zu dividieren. Die erste Primzahl ist 2 7800 : 2 = 3900. Geht es weiter durch 2? Ja! 3900 : 2 = 1950. Geht es noch weiter? Ja! 1950:2=975. Weiter durch 2 geht es aber nicht.

Probieren wir dann durch 3. Geht es? Ja! 975:3=325. Geht es weiter durch 3? Nein! (325:3 = 108,33

Probieren wir die nächste Primzahl: 325:5=65. Das geht nochmal: 65:5=13.

Die nächsten Primzahlen sind 7 und 11, da geht es nicht. Es geht wieder durch 13 13:13=1.

Hier sind wir fertig. Wir haben 7800 drei mal durch 2, ein mal durch 3, zwei mal durch 5 und ein mal durch 13 dividiert und dann war das Ergebnis 1. Es gilt daher: 7800:2:2:2:3:5:5:13=1 und umgekehrt (Gegenrechnung) 7800=2·2·2·3·5·5·13.

Primfaktorzerlegung Schreibweise

Den ganzen Prozess Schritt zum Schritt kann man so darstellen:

7800

7800	2
3900

7800	2
3900	2
1950

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65	5
13

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65	5
13	13
1

Primfaktorzerlegung Anwendungen

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

Wir haben schon das Kürzen von Brüchen gesehen:

${\frac {45}{35}}={\frac {45:5}{35:5}}={\frac {9}{7}}$

Hier sieht man sofort, dass man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 5 teilen kann. Was ist aber, wenn man große Zahlen hat. In diesem Fall ist es besser, die PFZ der Zahlen erst durchzuführen:

${\frac {6664}{8820}}=$?

6664	2
3332	2
1666	2
833	7
119	7
17	17
1

8820	2
4410	2
2205	3
735	3
245	5
49	7
7	7
1

Man schreibt Zähler und Nenner als Produkt von Primzahlen und kürzt den Bruch (also Primzahlen, die oben und unten vorkommen, werden gestrichen)

${\frac {6664}{8820}}={\frac {{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 2\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}\cdot 17}{{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}}}={\frac {2\cdot 17}{3\cdot 3\cdot 5}}={\frac {34}{45}}$

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

Schauen wir folgendes Beispiel an:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir haben schon gesehen, wie man zwei Brüche addiert oder subtrahiert. Was ist es aber, wenn man mehrere Brüche hat? Man könnte selbstverständlich erst die zwei Brüche machen, das Ergebnis mit dem nächsten Bruch usw. Das kann lang dauern und Brüche mit sehr große Nennern als Ergebnis haben. Es gibt eine Methode, die schneller ist und die Primfaktorzerlegung (PFZ) benutzt. Schauen wir ein Beispiel an. In unserem Beispiel wandeln wir erst die gemischte Zahlen in „unechten“ Brüchen um:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}={\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Jetzt machen wir die PFZ der Nenner:

36	2
18	2
9	3
3	3
1

24	2
12	2
6	3
3	3
1

45	3
15	3
5	5
1

40	2
20	2
10	2
5	5
1

also:

36 = 2·2·3·3

24 = 2·2·2·3

45 = 3·3·5

40 = 2·2·2·5

Als nächstes sollen wir das sogenannte „kleinste gemeinsame Vielfache“ (kgV) bilden. Das geht so: Wir schauen welche Faktoren in den Nennern vorkommen. In unserem Fall sind es 2, 3 und 5. Dann schauen wir, wo jeder von diesen Faktoren am häufigsten vorkommt.

2 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 drei mal vor, in 45 kein mal und in 40 wieder drei mal vor. Am häufigsten also kommt 2 drei mal vor (in 36 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 2 am häufigsten in irgendeinem Nenner drei mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 2 drei mal benutzen.

3 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 ein mal, in 45 zwei mal und 40 kein mal vor. Am häufigsten kommt 3 also zwei mal vor (in 36 oder in 45, wir benutzen also nur 36 oder nur 45, also die 3 zwei mal). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 3 zwei mal benutzen.

5 kommt in 36 kein mal, in 24 auch kein mal, in 45 ein mal und 40 auch ein mal vor. Am häufigsten kommt 5 also ein mal vor (in 45 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 5 am häufigsten in irgendeinem Nenner ein mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 5 ein mal benutzen.

Also die 2 kommt in kgV als drei mal Faktor vor, die 3 zwei mal und die 5 ein mal vor:

kgV=2·2·2·3·3·5=360

Für den nächsten Schritt gibt es verschiedene Wege, wir schreiben hier den Weg, den wir für den einfachsten halten. Unsere Rechnung nach dem ersten Schritt (gemischte Zahlen in unechten Brüchen umwandeln) ist jetzt:

${\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir multiplizieren unser kgV jeweils mit dem Zähler und dividieren jeweils durch den Nenner für jeden Bruch. Die Ergebnisse schreiben wir in einem Zähler auf, mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen. Im Nenner kommt das kgV (hier 360) vor. Also:

Für den ersten Bruch: 360⋅83:36=830
Für den zweiten Bruch: 360⋅85:24=1275
Für den dritten Bruch: 360⋅44:45=352
Für den vierten Bruch: 360⋅1:40=9

Diese vier Zahlen kommen im Zähler mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen vor, im Nenner kommt das kgV vor. Im Zähler machen wir dann auch die Strichrechnungen:

${\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}$

In diesem Fall können wir den Bruch auch weiter kürzen (hier mit 6). Daher ist das Ergebnis:

$-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Wiederholen wir das Ganze:

$\ 2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}=\qquad \qquad (kgV=360)$ $\ =\overbrace {\frac {83}{36}} ^{360\cdot 83:36=830}-\overbrace {\frac {85}{24}} ^{360\cdot 85:24=1275}+\overbrace {\frac {44}{45}} ^{360\cdot 44:45=352}-\overbrace {\frac {1}{40}} ^{360\cdot 1:40=9}=$ $={\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Berechnung kgV: 36=2⋅2⋅3⋅3 24=2⋅2⋅2⋅3 45=3⋅3⋅5 40=2⋅2⋅2⋅5 kgV=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5 =360

Textaufgaben Primfaktorzerlegung

Teilbarkeit

Bei der PFZ haben wir immer probiert, eine Zahl durch einer Primzahl zu teilen. Kann man wissen, ob das geht, ohne die Division zu machen? Für viele Primzahlen geht das. Die einfachsten Regel sind für 2, 3 und 5:

Durch 2

Wenn eine Zahl in 0, 2, 4, 6, 8 endet (gerade Zahl), dann ist sie durch 2 teilbar:

2004 und 33338 sind durch 2 teilbar: 2004 endet in 4, 33338 in 8.

2005 oder 486863 sind nicht durch 2 teilbar: 2005 endet in 5 und 486863 in 3.

Durch 5

Wenn eine Zahl in 0 oder 5 endet, dann ist sie durch 5 teilbar:

409 und 85923 sind nicht durch 5 teilbar (sie enden in 9 bzw. in 3).

490 und 89235 hingegen sind durch 5 teilbar (sie enden in 0 bzw. in 5)

Durch 3 (oder 9)

Wenn die Summe der Ziffer einer Zahl durch 3 (bzw. 9) teilbar ist, dass ist die Zahl auch durch 3 (bzw. 9) teilbar:

135 ist durch 3 teilbar: 1+3+5=9 (9:3=3, die Summe der Ziffer 9 ist durch 3 teilbar, also auch die Zahl 135). Sie ist auch durch 9 teilbar (9 ist durch 9 teilbar)

3564825 ist durch 3 teilbar: 3+5+6+4+8+2+5=33, 33:3=11. 33 ist durch 3 teilbar, daher auch 3564825. 33 ist aber nicht durch 9 teilbar, also 3564825 auch nicht.

3564824 ist nicht durch 3 oder 9 teilbar: 3+5+6+4+8+2+4=32, 32 ist nicht durch 3 oder 9 teilbar.

35644825 ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar: 3+5+6+4+4+8+2+4=32, 32 ist durch 3 und 9 teilbar.

Durch 7

Um zu verstehen, wie man herausfindet, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, machen wir ein Beispiel. Nehmen wir die Zahl 4445. Man teilt sie in Teilen am Ende anfangend und jedes mal zwei Ziffer nehmend: 44 | 45. Wenn die Summe vom doppelten des linken teils und vom rechten Teil durch 7 teilbar ist, dann ist auch die ganze Zahl: 2·44+45=133. Wenn man nicht sofort sehen kann, ob 133 durch 7 teilbar ist, kann man den Vorgang wiederholen: 133 in zwei Teilen → 1 | 33 2·1+33=35. 35 ist durch 7 teilbar, daher auch 133 und 4445. Bei größeren Zahlen muss man den Vorgang wiederholen. Probieren wir es mit einer größeren Zahl: 437381 43 | 73 | 81 2·43+73=159 2·159+81=399 → 3 | 99 3·2+99= 105 → 1 | 05 1·2+05=7 7 ist offenbar durch 7 teilbar also auch 105 und 399 und 437381! Man muss sagen: diese Regel kann doch länger dauern, als die eigentliche Division zu machen...

Durch 11

Für die Teilbarkeit durch 11 gibt es eine Regel: wenn die Differenz der alternierenden Summe der Ziffer einer Zahl 0 oder durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 11 teilbar. Beispiel: 981607. Man nimmt die Summe der ersten, der dritten und der fünften (alternierend) Ziffer 9+1+0= 10 und die Summe der zweiten, der vierten und der sechsten (alternierend) Ziffer 8+6+7=21. Die Differenz der beiden Summen ist 21-10=11, was durch 11 teilbar ist. Daher ist auch 981607 durch 11 teilbar!