MathemaTriX ⋅ Theorie. Vektoren

Hoch

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt Ein-Aus- klappen

AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Vektorielle und skalare Größen

Für manche physikalischen Größen braucht man eine Richtung im Raum, um sie vollständig zu beschreiben. Man kann mit 20 km/h in einer oder in die Gegenrichtung fahren, ein bisschen nach links oder ganz nach rechts. Allein die Zahl und ihre Einheit (20 km/h) reicht nicht aus, um diese Bewegung zu beschreiben. Die Richtung ist genauso notwendig. Die Zeit im Gegenteil hat keine Richtung im Raum. Man braucht keine Richtung, um die Zeit zu beschreiben, allein die Zahl samt Einheit (z. B. 5 h) reicht schon aus.

Die Größen, die bei ihrer vollständigen Beschreibung auch die Angabe einer Richtung brauchen, nennt man Vektoren. Solche vektrorielle Größen sind die Strecke, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Kraft.

Die Größen ohne Richtung im Raum, wie die Zeit, die Masse, die Energie, die Arbeit, die Leistung und den Wirkungsgrad, nennt man Skalare.

Vektor und Punkt

Beispiele von Vektoren

Bild 1: Punkte im Koordinatensystem

Ein Punkt ist zwar eine Konstruktion der Phantasie, man kann ihn aber doch in einem Koordinatensystem darstellen. Die Schreibweise eines Punktes  $P$  mit den Koordinaten  $x$  und  $y$  ist  $P(x|y)$  oder auch  $P=(x,y)$, wobei immer erst die x- und dann die y-Koordinate geschrieben wird. Oft schreibt man auch Strichpunkte (Semikolons) anstelle der Kommata, um Missverständnisse mit Dezimalzahlen zu vermeiden. Um die Position des Punktes im Koordinatensystem zu finden, geht man aus dem Koordinatenursprung rechts so oft wie der x-Wert (links, wenn der x-Wert negativ ist) und nach oben so oft wie der y-Wert (nach unten, wenn der y-Wert negativ ist) angibt. Im Bild 1 z. B. sieht man den Punkt  $P(5|3)$, also 5 Einheiten rechts vom und 3 Einheiten oberhalb des Ursprungs und den Punkt  $Q(-4|2)$, also 4 Einheiten links (weil der x-Wert negativ ist, also -4) und 2 Einheiten oberhalb. Den idealen dimensionslosen Punkt stellt man im Koordinatensystem eben mit einem Punkt, der doch Dimensionen hat, also mit einem kleinen Kreis oder manchmal auch mit einem kleinen Rhobus usw. dar. Für Punkte im Raum (drei Dimensionen) schreibt man drei Zahlen nebeneinander, die der Reihe nach die x-, y- und z-Koordinate angeben:  $P(x|y|z)$  oder auch  $P=(x,y,z)$.

Bild 2

Bild 3:  ${\vec {\mathrm {v} }}$   verschoben

Ein Vektor ist ein Pfeil im Raum. Einen Vektor schreibt man als Zahlen nebeneinander $(P=(x,y)\ )$ oder untereinander $({\vec {v}}={\tbinom {x}{y}})$, wobei wieder erst (links bzw. oben) die x- und dann (rechts bzw. unten) die y-Koordinate geschrieben wird. Der Unterschied in der Schreibweise zum Punkt ist, dass man in der Regel für Punkte einen großen und für Vektoren einen kleinen Buchstabe mit einem Pfeil darüber benutzt, das ist aber nicht immer so.

Im Bild 2 fängt der Vektor  ${\vec {v}}={\tbinom {3}{4}}$  am Punkt  $P_{1}(1|2)$  an. Man geht 3 Einheiten rechts und 4 nach oben (wie bei einem Punkt) und man gelangt an den Punkt  $P_{2}(4|6)$. Der Pfeil fängt also am Punkt  $P_{1}(1|2)$  an und endet am Punkt  $P_{1}(4|6)$. Wenn wir vom Punkt P₂ den Punkt P₁ subtrahieren, wenn wir also die x-Koordinate des Punkts P₁ (1) aus der x-Koordinate des Punkts P₂ (4) subtrahieren (4-1=3) bekommen wir die x-Koordinate des Vektors zwischen P₁ und P₂. Wenn wir die y-Koordinate des Punkts P₁ (2) aus der y-Koordinate des Punkts P₂ (6) subtrahieren (6-2=4) bekommen wir die y-Koordinate des Vektors zwischen P₁ und P₂ (4). Dieser Vektor ist tatsächlich der Vektor  ${\vec {v}}={\tbinom {3}{4}}$.

Bild 4

Ein Vektor ist aber in der Regel nicht an einem Punkt gebunden. Im Bild 3 wurde der Vektor v verschoben, er fängt am Punkt  $P_{3}(-1|-1)$  an und endet am Punkt  $P_{4}(2|3)$. Wenn wir hier wieder die entsprechenden Koordinaten der Punkte P₄ und P₃ subtrahieren, also 2-(-1)=3 für die x-Koordinate und 3-(-1)=4 für die y-Koordinate, bekommen wieder den Vektor  ${\vec {v}}={\tbinom {3}{4}}$.

Bild 5: Ortsvektoren

Im Bild 4 sieht man, dass tatsächlich zwischen den Punkten P₁ und P₂ einerseits und den Punkten P₃ und P₄ andererseits der gleiche Vektor v liegt.

Einen Punkt kann man auch mit sogenannten Ortsvektoren darstellen. Diese sind zwar als Vektoren dargestellt sind aber doch an einem Punkt, nämlich den Koordinatenursprung, gebunden, wie im Bild 5.

Der Unterschied also zwischen Punkt und Vektor ist:

Ein Punkt ist an den Koordinatenursprung gebunden, ein Vektor ist nicht unbedingt an einen Punkt gebunden.

Vektoraddition

Bild 1

Wenn wir zwei Vektoren addieren wollen, addieren wir die x-Koordinate des ersten Vektors zur x-Koordinate des zweiten. So bekommen wir die x-Koordinate der Summe der beiden Vektoren. Dann addieren wir die y-Koordinate des ersten Vektors zur y-Koordinate des zweiten. So bekommen wir die y-Koordinate der Summe der beiden Vektoren.

Im Bild 1 fängt der Vektor u beim Koordinatenursprung und endet 4 Einheiten rechts (x-Koordinate) und 6 nach oben (y-Koordinate) also ist ${\vec {\mathrm {u} }}={\tbinom {4}{6}}$. Der Vektor v fängt am Punkt (4|6) und endet 1 Einheit nach rechts und drei nach unten, am Punkt (5|3), also ist ${\vec {\mathrm {v} }}={\tbinom {1}{-3}}$. Wenn wir einerseits die x-Koordinate des Vektors u zur x-Koordinate des Vektors v addieren (4+1=5) und andererseits die y-Koordinate des Vektors u zur y-Koordinate des Vektors v (6-3=3), bekommen wir die entsprechenden Koordinaten der Summe der Vektoren u+v, also ist ${\vec {\mathrm {u} }}+{\vec {\mathrm {v} }}={\tbinom {4}{6}}+{\tbinom {1}{-3}}={\tbinom {4+1}{6+(-3)}}={\tbinom {5}{3}}$.

Bild 2

Bild 3

Wenn jemand jetzt aus dem Vektor u den Vektor v subtrahieren will, dann soll man zum Vektor u den Gegenvektor von  ${\vec {\mathrm {v} }}={\tbinom {1}{-3}}$   nämlich den Vektor  ${\vec {\mathrm {-v} }}={\tbinom {-1}{3}}$  addieren. Dass der Vektor  ${\vec {\mathrm {-v} }}={\tbinom {-1}{3}}$  tatsächlich der Gegenvektor von v ist, kann man im Bild 2 klar sehen (gleicher Vektor in die Gegenrichtung). Das Ergebnis w von u-v sieht man im Bild 3. Tatsächlich ist die x-Koordinate von w die x-Koordinate von u minus die x-Koordinate von v (4-1=3) und die y-Koordinate von w die x-Koordinate von u minus die y-Koordinate von v (6-(-3)=9).

Bild 4

Bild 5

Rein theoretisch könnte man Vektoren ohne Koordinatensystem darstellen und subtrahieren (Bild 4,5:  ${\vec {\mathrm {c} }}={\vec {\mathrm {a} }}-{\vec {\mathrm {b} }}$ ) oder addieren (Bild 6), in diesem Fall ist es aber nicht klar, welche die x und welche die y Richtung ist und vor allem, welche die Einheit ist! Daher ist es immer notwendig ein Koordinatensystem anzugeben.

Bild 6

Bild 7

Um Vektoren zu addieren, kann man auch ein Parallelogramm benutzen, wie im Bild 7. Dieser Vorgang ist aber aufwendiger, wenn man mehrere Vektoren addieren bzw. subtrahieren will (wie im Bild 6).

Vektor mit Zahl multiplizieren

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4: Skalar mal Vektor

Man kann einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren. In den Bildern 1 und 2 sieht man das Doppelte bzw. das Dreifache eines Vektors, obwohl hier keine Einheiten oder Achsen gegeben sind. Im Bild 3 sieht man sowohl das Doppelte als auch den Gegenvektor  $-{\vec {a}}$ .

Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Vektor rechnerisch? Man multipliziert jede Koordinate des Vektors mit der Zahl. Wie man im Bild 4 ablesen kann, ist der Vektor  $-{\vec {\mathrm {v} }}$  durch die Koordinaten des Vektors  $-{\vec {\mathrm {v} }}={\tbinom {2}{1}}$  je multipliziert mit -1:

$-{\vec {\mathrm {v} }}=-1\cdot {\tbinom {2}{1}}={\tbinom {-1\cdot 2}{-1\cdot 1}}={\tbinom {-2}{-1}}$ 

Für den Vektor  $2{\vec {\mathrm {v} }}$  multipliziert man jede Koordinate des Vektors  ${\vec {\mathrm {v} }}$  mit 2:

$2{\vec {\mathrm {v} }}=2\cdot {\tbinom {2}{1}}={\tbinom {2\cdot 2}{2\cdot 1}}={\tbinom {4}{2}}$ 

Entsprechend ist es bei den anderen Vektoren:

$2,5{\vec {\mathrm {v} }}=2,5\cdot {\tbinom {2}{1}}={\tbinom {2,5\cdot 2}{2,5\cdot 1}}={\tbinom {5}{2,5}}$ 

$-3{\vec {\mathrm {v} }}=-3\cdot {\tbinom {2}{1}}={\tbinom {-3\cdot 2}{-3\cdot 1}}={\tbinom {-6}{-3}}$ 

In der Physik gibt es zwei Arten von Größen: Skalare (z.B. Masse, Zeit, Energie) und Vektoren (z.B. Strecke, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft). Wenn man ein Skalar mit einem Vektor multipliziert (z.B. Masse mal Beschleunigung) ist das Ergebnis ein Vektor (in diesem Fall Kraft), dessen Koordinaten wie in diesem Absatz berechnet werden (also Zahl mal jede Koordinate des Vektors).

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors ist nichts mehr und nichts weniger als seine Länge. Wie man aus dem Bild ablesen kann, kann man die Länge mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Die Seite a des Rechtwinkeligen Dreiecks ABC ist die y-Koordinate a = u_y = 4 des Vektors   ${\vec {\mathrm {u} }}={\tbinom {3}{4}}$  (die untere Zahl) und die Seite b die x-Koordinate b=u_x=3 (die obere Zahl). Daher ist die Länge des Vektors  ${\vec {\mathrm {u} }}$     $|{\vec {\mathrm {u} }}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$.

Der Gegenvektor $-{\vec {\mathrm {u} }}={\tbinom {-3}{-4}}$ hat genau die gleiche Länge, also den gleichen Betrag: $|-{\vec {\mathrm {u} }}|={\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}=5$.

Richtung eines Vektors und Steigung

Bild 1

Bild 2

Die Richtung eines zweidimensionalen Vektors hat stark mit der Steigung einer linearen Funktion zu tun. Wenn man von einem Punkt ausgeht und wissen will, in welcher Richtung der Vektor gezeichnet werden muss, kann man einen Schritt nach rechts parallel zur x-Achse machen und dann genau so viel auf der y-Achse, wie die y-Koordinate (untere Zahl) durch die x-Koordinate (obere Zahl).

Eine Darstellung einer Gerade ist auch die „Punkt-Vektor“ Darstellung. In dieser Darstellung der Gerade ist ihre Steigung genau die y-Koordinate (untere Zahl) durch die x-Koordinate (obere Zahl) des Vektors. In so einem Fall wäre die Steigung der entsprechenden Gerade für den Vektor  ${\vec {\mathrm {u} }}={\tbinom {-2}{4}}$   im Bild 1 gleich  ${\frac {4}{-2}}=-2$  und im Bild 2 $(\,{\vec {\mathrm {u} }}={\tbinom {3}{5}}\,)$ gleich  ${\frac {5}{3}}=1,{\dot {6}}$ 

Orts- und Richtungsvektoren

Wie im Abschnitt über Vektor und Punkt erklärt, kann man einen Punkt auch durch einen vom Koordinatenursprung ausgehenden Vektor darstellen. So einen Vektor nennt man „Ortsvektor“. Um einen Ortsvektor von den anderen Vektoren zu unterscheiden, benutzt man für die anderen, nicht am Koordinatenursprung gebundenen Vektoren den Name „Richtungsvektor“. Wenn man aber das Wort „Vektor“ ohne weitere Bezeichnungen benutzt, ist ein Richtungsvektor gemeint.

Zerlegung eines Vektors zu seinen Komponenten

Einen Vektor kann man zu sogenannten Komponenten zerlegen. Das ist quasi das Gegenteil von Vektoren addieren. Man wählt ein Koordinatensystem (zwei Richtungen auf der Ebene, in der Regel senkrecht zueinander) und findet zwei Vektoren, einen auf jede Achse des Koordinatensystems, dessen Summe der Anfangsvektor ist.

Bild 1

Nehmen wir als Beispiel den Vektor im Bild 1. Im Bild hat man zwei Richtungen, waagerecht (x-Achse) und senkrecht (y-Achse). Der Vektor geht vom Koordinatenursprung aus (Punkt (0|0)). Von seinem Ende aus zieht man eine Gerade parallel zu y-Achse und findet man so die Projektion des Vektors auf der x-Achse. Das ist das x-Komponent des Vektors (als v_x bezeichnet). Von Ende des Vektors v aus zieht man wieder eine Gerade, diesmal parallel zu x-Achse, und findet man so die Projektion des Vektors auf der y-Achse. Das ist das y-Komponent des Vektors (als v_y bezeichnet). Wenn man sich auch mit Sinus und Kosinus auskennt, ist:

$v_{y}=v\cdot sin\theta$

$v_{x}=v\cdot cos\theta$

Bild 2

Bild 3

Das Koordinatensystem allerdings muss nicht waagerechte und senkrechte Achse sein. Es gibt Probleme, wo es günstiger ist, einen schiefen Koordinatensystem (oder sogenanntes Bezugssystem) zu wählen, wie im Bild 2. Bei der Zerlegung werden die gleichen Schritten wie vorher vorgenommen. Wenn die Achsen des Bezugssystems senkrecht zueinander sind, dann gilt wieder:

$v_{y}=v\cdot sin\theta$

$v_{x}=v\cdot cos\theta$

Das Bezugssystem muss aber nicht unbedingt Achsen, die normal aufeinander stehen sein. Das ist der Fall im Bild 3. Hier gelten aber vorherigen Gleichung nicht mehr.

Skalarprodukt von Vektoren

Von den vier Grundrechenarten sind zwischen Vektoren nur drei möglich, die Strichrechnungen (Addition, Subtraktion) und die Multiplikation. Dafür gibt es allerdings zwei Arten von Multiplikation zwischen Vektoren, die sogenannten Skalar- und Kreuzprodukt. Hier werden wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigen, das durch den Punkt der gewöhnlichen Multiplikation dargestellt wird. Es kann zwischen nur zwei Vektoren stattfinden und wird durch die Summe der Produkte der einzelnen Koordinaten der Vektoren berechnet. Das bedeutet: Wenn wir das Skalarprodukt der Vektoren ${\vec {a}}\$und ${\vec {b}}\$berechnen wollen, müssen wir die x-Koordinate $a_{1}\$des Vektors ${\vec {a}}\$mit der x-Koordinate $b_{1}\$des Vektors ${\vec {b}}\$multiplizieren, die y-Koordinate $a_{2}\$des Vektors ${\vec {a}}\$mit der y-Koordinate $b_{2}\$des Vektors ${\vec {b}}\$auch multiplizieren und die Ergebnisse zusammenrechnen:

$\textstyle {\binom {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$

Hier ein konkretes Beispiel:

$\textstyle {\binom {3}{-2}}\cdot {\binom {-1}{-5}}=3\cdot (-1)+(-2)\cdot (-5)=-3+10=7$

Wir sehen klar: Das Ergebnis eines Skalarproduktes zwischen Vektoren ist kein Vektor mehr, sondern eine Zahl.

Winkelmaß zwischen zwei Vektoren

Der Kosinus des Winkels $\varphi \$zwischen zwei Vektoren lässt sich durch folgende Formel berechnen:

$\cos(\varphi )={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren, im Nenner das Produkt ihrer Beträge. Diese Formel kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Definition des Kosinus in einem rechtwinkeligen Dreieck zeigen. Der Winkel lässt sich dann leicht mit Hilfe der Umkehrfunktion von Kosinus berechnen:

$\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

Hier ein konkretes Beispiel:

${\vec {a}}={\binom {4}{-3}}\Rightarrow |{\vec {a}}|={\sqrt {4^{2}+(-3)^{2}\ }}=5$

${\vec {b}}={\binom {-2{,}1}{2}}\Rightarrow |{\vec {a}}|={\sqrt {(-2{,}1)^{2}+2^{2}\ }}=2{,}9$

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\binom {4}{-3}}\cdot {\binom {-2{,}1}{2}}=4\cdot ({-2{,}1})+(-3)\cdot 2=-14{,}4$

$\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}=\arccos {\frac {-14{,}4}{5\cdot 2{,}9}}\approx 173{,}27^{\circ }$

Orthogonalitätskriterium zwei Vektoren

Der Kosinus des Winkels $\varphi \$zwischen zwei Vektoren lässt sich durch folgende Formel berechnen:

$\cos(\varphi )={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

Der Kosinus von 0° ist 1, von 90° allerdings null. Dies bedeutet, dass das Kosinus zwischen zwei Vektoren null ist, wenn die Vektoren senkrecht zu einander sind (man sagt "normal zueinander stehen"). Wenn der linke Teil der Gleichung für den Kosinus zwischen zwei Vektoren null ist, muss dies auch für den rechten Teil gelten. Das kann aber nur dann passieren, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist. Es gilt daher:

Zwei Vektoren stehen nur dann normal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist und umgekehrt:

Wenn zwei Vektoren normal zueinander stehen, dann ist ihr Skalarprodukt null.