Himmelsgesetze der Bewegung/ Lineare Funktionen

Was ist eine Gerade?

Eine Weise um zu begreifen, was eine Gerade ist, ist erst die Strecke zu definieren. Eine Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Wenn man die Strecke auf beide Seiten unendlich viel verlängert, dann entsteht eine Gerade, wenn auf nur eine Seite, dann ein Strahl.

Gerade als Erweiterung einer Strecke

Diese Definition mag vielleicht logisch klingen, hat aber mit Logik als Feld der Philosophie kaum was zu tun.

• Erstens weiß man nicht, was ein Punkt ist. In der euklidischen Geometrie, die als Basis der Geometrie für Jahrtausende gedient hat, wird der Punkt als etwas, das keine Teile hat, definiert. Ein Punkt hat daher keine Dimension. Er ist also nichts, nur eine Konstruktion der Phantasie.

• Zweitens entspricht eine Gerade unserer Vorstellungen nur in der euklidischen Geometrie. Es gibt auch nicht euklidische Geometrien, bei denen eine Gerade nicht so "gerade" ist, wie wir uns eine Gerade vorstellen. Außerdem gilt in der euklidische Geometrie das Parallelenaxiom, was nicht unbedingt richtig das Universum beschreibt.

Hilbert hat für die euklidische Geometrie ein Axiomensystem entwickelt, in dem die Definition des Punktes nicht mehr notwendig ist. Um die lineare Gleichungen zu verstehen, braucht man aber doch nicht so exakt zu sein. Daher werden wir uns mit der Definition am Anfang zufrieden geben.

Konstruktion einer Gerade

Eine Gerade wird in der euklidischen Geometrie durch zwei Punkte definiert. Der kürzeste Weg zwischen diesen Punkten ist die entsprechende Strecke. Verlängert man unendlich lang diese Strecke auf beide Seiten, bekommt man die entsprechende Gerade. Durch zwei Punkten geht genau eine Gerade. Um eine Gerade zu konstruieren, reichen daher genau zwei Punkte aus.

Geometrie und Algebra kombinieren!

(Manche Teile sind aus Wikipedia kopiert)

Geometrie ist das Gebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften und Beziehungen zwischen Punkten, Geraden, Ebenen und allerlei Figuren im Raum oder auf einer Ebene beschäftigt. Algebra ist das Gebiet der Mathematik, das sich mit Gleichungen, die unterschiedliche Variablen beinhalten, beschäftigt. Wenn also in einer Gleichung ein Buchstabe vorkommt, der irgendwas allgemeineres darstellt, dann spricht man schon über Algebra. In der Mathematik gibt es auch ein Gebiet, das diese zwei Gebiete kombiniert, die analytische Geometrie.

Wir können verstehen, wie diese Kombination stattfindet, durch das Beispiel des Kreises. Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Ebenes Koordinatensystem mit 2 Punkten P und Q und ihren Koordinaten

Ein Kreis kann in der analytischen Geometrie durch die Gleichung x²+y²=r² dargestellt werden, wobei r der Radius des Kreises ist. Wie ist so was möglich? Man benutzt das sogenannte kartesisches Koordinatensystem, in diesem Fall ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem.

Punkt P auf dem Kreis mit Radius r und seine Koordinaten

Wenn wir alle Punkte im Koordinatensystem nehmen, die unsere Gleichung erfüllen, dann stellen wir fest, dass im Koordinatensystem das Bild eines Kreises entsteht. Wenn wir den Abstand eines zufälligen Punktes, der diese Gleichung erfüllt, vom Koordinatenursprung berechnen, dann ergibt sich immer der Radius r, wie man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras zeigen kann (siehe Bild). Tatsächlich ist der Abstand r zum Mittelpunkt (Koordinatenursprung) des Kreises die Hypotenuse und die zwei Koordinatenwerte (X und Y) die Längen der Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks OPX. Nach dem Satz von Pythagoras daher gilt für jeden beliebigen Punkt, der sich auf diesen Kreis befindet, die Gleichung x²+y²=r². Diese Gleichung entspricht also tatsächlich einem Kreis mit Radius r und Mittelpunkt den Koordinatenursprung im kartesischen Koordinatensystem!

Die analytische Geometrie als Kombination der Algebra und der Geometrie und ihre Kombination mit der Differential- und Integralrechnung hat die Mathematik in den letzten Jahrzehnten revolutioniert. Basis dieser Revolution ist die lineare Funktion, die wir hier analysieren.

Lineare Funktion

Definitionen

Funktion

In der Mathematik ist eine Funktion (lat. functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet (Definition aus Wikipedia). Man kann z.B. jeder Uhrzeit eines Tages die Temperatur in dieser Uhrzeit zuordnen. Die Uhrzeiten bilden dann die sogenannte Definitionsmenge, die Temperaturen die Zielmenge (Wertemenge). Man benutzt oft als Variable für die Definitionsmenge ("unabhängige Variable") den Buchstaben x und als Variable für die Zielmenge ("abhängige Variable") den Buchstaben y, das ist aber keinesfalls nicht eine Regel. Man kann für beide Mengen irgendein Symbol benutzen. Es gibt da keine Beschränkung, wenn aber man nicht x und y in der gewöhnlichen Weise benutzt, soll man in der Regel klar machen, durch welches Symbol die Definitions- und durch welche die Zielmenge bezeichnet wird. In unserem Beispiel kann man beispielsweise anstatt x und y, t für die Uhrzeit und T für die Temperatur benutzen.

Charakteristisch für Funktionen ist, dass jedem Wert aus dem Definitionsmenge genau ein Wert aus der Zielmenge zugeordnet wird. Für jede Uhrzeit kann man (für einen Gewissen Ort) genau einen Temperaturwert angeben (es geht nicht, dass im gleichen Ort und in der gleichen Uhrzeit zwei Temperaturen gemessen werden!). Umgekehrt gilt aber dieses Verhältnis nicht: jedem Wert aus dem Zielmenge können auch mehrere Werte aus dem Definitionsmenge zugeordnet werden. Man kann 25°C sowohl um 6 in der früh als auch um 12 in der Nacht messen.

Lineare Funktion

Linear nennt man (in der Schulmathematik) eine Funktion der Form:

y=a⋅x+b

In den verschiedenen Staaten werden verschiedene Buchstaben für die konstanten a und b benutzt. In der Schweiz wird häufig y=m⋅x+q verwendet, in Österreich y=k⋅x+d, in Deutschland y=m⋅x+n. In Belgien findet man auch y=m⋅x+p oder y=k⋅x+t.

Man kann auch statt y f(x) verwenden:

f(x)=a⋅x+b

oder, wie schon gesagt, irgendein Symbol.

f(x) oder y (oder das entsprechende Symbol) nennt man abhängige Variable.

x (oder das entsprechende Symbol) unabhängige Variable.

Die Konstante, die vor x steht (also hier a, in Österreich k, in Deutschland m usw.), nennt man Steigung.

Die andere Konstante (hier b, in Österreich d, in Deutschland n usw.) nennt man y-Achsenabschnitt.

Über den Terminus „lineare Funktion“

Das Wort „linear“ wird in Mathematik in Allgemeinem für Funktionen benutzt nur dann, wenn sie bestimmte Voraussetzungen erfüllen. Es muss gelten, dass f(a·x)=a·f(x) und f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂). Das ist im Fall der linearen Funktionen, wie sie hier definiert wurden, nur dann der Fall, wenn der y-Achsenabschnitt null ist (Direkte Proportionalität), sonst aber nicht. Ein Beispiel kann das uns zeigen:

• Sei f(x)= 3·x+2. Dann ist f(2·x)= 3·(2·x)+2 = 6·x+2 und 2·f(x)= 2·(3·x+2)=6·x+4, also ist f(2·x)≠2·f(x)

Wenn hingegen der y-Achsenabschnitt null ist, dann gilt schon die Linearität der Funktion:

• Sei f(x)= 3·x. Dann ist f(2·x)= 3·(2·x)= 6·x und 2·f(x)= 2·(3·x)=6·x, also ist f(2·x)=2·f(x) und allgemein f(a·x)=a·f(x)
• Es gilt auch: f(x₁+x₂)=3·(x₁+x₂)=3·x₁+3·x₂=f(x₁)+f(x₂)

Eine in der Schule „lineare“ genannte Funktion ist nach mathematischer Definition der Linearität nur dann tatsächlich linear, wenn der y-Achsenabschnitt null ist. Der Name „lineare Funktion“ kann daher irreführend sein. Er wird aber doch benutzt, vermutlich weil man die Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem mit Hilfe eines Lineals zeichnen kann. Ein genauer Terminus ist das Wort „Geradengleichung“. Bis sich dieser Terminus durchsetzt wird aber doch in diesem Werk der Terminus „lineare Funktion“ benutzt, der dann als ein Fall eines Homonyms gesehen werden kann und immer mit dem Hinweis auf diesen Abschnitt hier.

Die verschiedenen Formen

Es gibt verschiedene Weisen eine lineare Funktion anzugeben. Hier werden nur manche davon angegeben.

Die explizite Form

Die Darstellung y=a⋅x+b der linearen Funktion nennt man explizite Form.

In dieser Form steht die abhängige Variable y auf der rechten Seite und auf der linken die unabhängige Variable x - mit einer Konstante a (bzw. d, m usw.) vor ihr - plus eine zweite Konstante b (bzw. d, n usw.). Es gibt aber auch andere Darstellungen der linearen Funktion.

Die implizite Form

Die implizite Form ist:

a⋅x+b⋅y+c=0   (oder   a⋅x+b⋅y=c)

Die Parameterform (Vektorform)

Die Parameterform wird durch zwei Gleichungen angegeben:

$x=a_{1}\cdot t+b_{1}$

$y=a_{2}\cdot t+b_{2}$

Die Variable t nennt man Parameter

Das gleich kann man in der sogenannten Vektorform darstellen:

$\textstyle \mathbf {X} =\mathbf {A} \ \cdot t+\mathbf {B} \$

$\textstyle \mathbf {X} ,\ \mathbf {A} ,\$und $\ \mathbf {B} \$sind Vektoren, nämlich $\textstyle {\binom {x_{1}}{x_{2}}},\ {\binom {a_{1}}{a_{2}}},\ {\binom {b_{1}}{b_{2}}}$:

$\textstyle {\binom {x_{1}}{x_{2}}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\ \cdot t+{\binom {b_{1}}{b_{2}}}\$

Diese Darstellung ist gleichbedeutend mit den folgenden zwei Gleichungen:

$x_{1}=a_{1}\cdot t+b_{1}$

$x_{2}=a_{2}\cdot t+b_{2}$

Es ist oft so in der Vektorrechnung, dass die Achsen des Koordinatensystems durchnummeriert werden. Hier steht $x_{1}\$an der Stelle von $x\$und $x_{2}\$an der Stelle von $y$.

Graphische Darstellung

Drei verschieden lineare Funktionen

Wie schon beschrieben kann man Geometrie und Algebra kombinieren. Wir haben dort gesehen, dass die algebraische Form eines Kreises x²+y²=r² ist.

Die geometrische Form einer linearen Gleichung in einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Gerade:

In diesem Bild haben die rote und die grüne Gerade den gleichen y-Achsenabschnitt, die rote und die blaue die gleiche Steigung (sie sind parallel). Die blaue und die grüne haben einen gemeinsamen Punkt bei (-4/3|-5/3)

Umwandeln von einer Form zu einer anderen

Im folgenden werden die unterschiedlichen Symbole für die explizite Form benutzt, die in den verschiedenen deutschsprachigen Staaten benutzt werden. Nochmal:

y=k⋅x+d     ist gleich wie     y=m⋅x+n     ist gleich wie     y=m⋅x+q

Wichtig ist nur zu wissen:

Die Konstante, die in der explizite Form mit x multipliziert wird, ist die Steigung. (in der Schweiz und in Deutschland m, in Österreich k - in der Regel!)

Die Konstante, die zu diesem Produkt addiert wird, ist der y-Achsenabschnitt. (in der Schweiz q, in Deutschland n, in Österreich d - in der Regel!)

Explizite zur impliziten Form

y=k⋅x+d ⇔ -k⋅x+y-d=0

Das ist schon die implizite Form   a⋅x+b⋅y+c=0   mit

-k statt a (Konstante vor x in der impliziten Form),

1 statt b (Konstante vor y in der impliziten Form) und

-d statt c (Konstante ohne Variable in der impliziten Form).

Explizite zur Parameterform

y=m⋅x+n

Wenn wir x=t stellen, dann haben wir schon die Parameterform:

x=t y=m⋅t+n

Vektorform:$\quad {\binom {x}{y}}={\binom {1}{m}}\cdot t+{\binom {0}{n}}$

Vergleichen wir das mit dem allgemeineren Parameterform (x=a₁⋅t+b₁  und  y=a₂⋅t+b₂), dann stellen wir fest, dass hier a₁=1, b₁=0, a₂=m und b₂=n ist.

Implizite zur expliziten Form

a⋅x+b⋅y+c=0

Mit unseren Kenntnissen können wir diese Gleichung auf y umformen:

a⋅x+b⋅y+c=0   ⇔   b⋅y=-c-a⋅x und daher:

$\mathbf {y={\frac {-a}{b}}\cdot x+{\frac {-c}{b}}}$

Das ist die explizite Form mit -a/b als Steigung (m, k usw.) und -c/b als y-Achsenabschnitt (n,p,d usw.).

Implizite zur Parameterform

Man nimmt das Ergebnis aus dem letzten Abschnitt und wandelt diese explizite in die Parameterform:

$\mathbf {x=t}$ $\mathbf {y={\frac {-a}{b}}\cdot t+{\frac {-c}{b}}}$

Vektorform:$\quad {\binom {x}{y}}={\binom {1}{-{\frac {a}{b}}}}\cdot t+{\binom {0}{-{\frac {c}{b}}}}$

Parameter- zur expliziten Form

x=a1⋅t+b1 y=a2⋅t+b2

Vektorform:$\quad {\binom {x}{y}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\cdot t+{\binom {b_{1}}{b_{2}}}$

Man formt die erste Gleichung auf t um und setzt dieses t in die zweite Gleichung ein:

$t={\frac {1}{a_{1}}}\cdot x-{\frac {b_{1}}{a_{1}}}\quad \Rightarrow \quad y=a_{2}\cdot \left({\frac {1}{a_{1}}}\cdot x-{\frac {b_{1}}{a_{1}}}\right)+b_{2}\quad \Rightarrow$

$\mathbf {y={\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot x+{\frac {a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}}{a_{1}}}}$

Die Steigung in der Parameterform ist daher $\mathbf {\frac {a_{2}}{a_{1}}}$ und

der y-Achsenabschnitt ist $\mathbf {\frac {a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}}{a_{1}}}$

Parameter- zur impliziten Form

Man benutzt die Gleichung    $y=a_{2}\cdot \left({\frac {1}{a_{1}}}\cdot x-{\frac {b_{1}}{a_{1}}}\right)+b_{2}$    aus dem letzten Abschnitt und formt sie um:

$\mathbf {a_{2}\cdot x-a_{1}\cdot y+(a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1})=0}$

Das ist schon die implizite Form   a⋅x+b⋅y+c=0   mit

$a_{2}$ statt a (Konstante vor x in der impliziten Form),

$-a_{1}$ statt b (Konstante vor y in der impliziten Form) und

$(a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1})$ statt c (Konstante ohne Variable in der impliziten Form).

Die lineare Funktion graphisch darstellen

Durch die Definition der Gerade versteht man, dass zwei Punkte ausreichen, um eine Gerade eindeutig zu definieren. Ein Punkt ist durch zwei Werte bestimmt, die x-Koordinate und die entsprechende y-Koordinate. Um zwei Punkte einer linearen Funktion zu finden, reicht es daher aus, willkürlich zwei Werte für x in der Funktion einzugeben und die entsprechende Werte für y finden. Diese zwei Punkte zeichnet man dann im Koordinaten System. Die Gerade, die durch diese zwei Punkte läuft, entspricht der gegebenen linearen Funktion.

Der y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert der Funktion an der Stelle x=0 (Stelle einer Funktion nennt man den x-Wert). Der Punkt der Funktion für x=0 ist der Punkt, an den die Gerade und die y-Achse einander schneiden. Daher nennt den entsprechenden y-Wert y-Achsenabschnitt.

In der expliziten Form (y=a⋅x+b) ist er durch die Konstante, die nicht mit x multipliziert wird, gegeben (also hier durch b, in Österreich (y=k⋅x+d) durch d, in Deutschland (y=m⋅x+n) durch n, in der Schweiz (y=m⋅x+q) durch q).

In der impliziten Form (a⋅x+b⋅y+c=0) ist er durch -c/b gegeben.

In der Parameterform (x=a₁⋅t+b₁ , y=a₂⋅t+b₂) ist er durch    ${\frac {a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}}{a_{1}}}$    gegeben.

In der graphischen Darstellung soll man (so genau wie möglich) messen, an welchen Wert von y die Gerade die y-Achse schneidet.

Wenn zwei Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) gegeben sind, dann kann man den y-Achsenabschnitt berechnen . Das Ergebnis ist:

y-Achsenabschnitt:    $\mathbf {b={\frac {x_{2}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Die Steigung

Einführung

Die Steigung zeigt uns wie Steil die lineare Funktion ist. Dabei muss man aber vorsichtig sein. Bei positiven Werten der Steigung (also, wenn die Gerade von links unten nach rechts oben verläuft) ist tatsächlich die Steigung desto größer, je steiler die Funktion ist. Bei negativen Werten ist das aber doch nicht der Fall. Je steiler die Funktion nach unten ist (also von links oben nach rechts unten), desto negativer wird die Steigung sein. Negativere Steigung aber ist auch eine kleinere Steigung (z.B. -5 ist negativer als -2 und -5 ist kleiner als -2 in der Zahlengerade).

Die Steigung in den verschiedenen Formen

In der expliziten Form (y=a⋅x+b) ist die Steigung durch die Konstante, die mit x multipliziert wird, gegeben (also hier durch a, in Deutschland (y=m⋅x+n) durch m, in der Schweiz (y=m⋅x+q) durch m, in Österreich (y=k⋅x+d) durch k).

In der impliziten Form (a⋅x+b⋅y+c=0) ist sie durch -a/b gegeben.

In der Parameterform (x=a₁⋅t+b₁ , y=a₂⋅t+b₂) ist sie durch    ${\frac {a_{2}}{a_{1}}}$    gegeben.

In der graphischen Darstellung gibt es zwei Vorgehensweise.

• Entweder misst man den Winkel φ zwischen Gerade und x-Achse. Die Steigung ist dann durch tanφ gegeben.
• Oder findet man die Koordinaten von zwei Punkten der Gerade (so weit von einander wie möglich). Dann benutzt man den Vorgang, der im folgenden Abschnitt beschrieben wird (Steigung bei zwei gegebenen Punkten).

Die Steigung bei zwei gegebenen Punkten

Steigung einer Gerade: $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Bei einer linearen Funktion y = a · x + b seien zwei Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) gegeben (a und b unbekannt). Dann ist die Steigung a:

$a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Das Quotient Δy durch Δx nennt man Differenzenquotient. Den Buchstabe Δ (Griechisch: Delta) benutzt man um eine Differenz (Griechisch: Διαφορά) zu bezeichnen.

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft. (dieser Satz aus Wikipedia)

Lass uns zeigen, warum es so ist:

Laut Definition gilt:

Δy = y₂ – y₁

Δx = x₂ – x₁

Man formt zuerst die lineare Funktion auf den y-Achsenabschnitt b um:

b = y – a · x

Dann setzt man in diese Gleichung beide Punkte ein und bekommt man in dieser Weise zwei Gleichungen:

b = y₁ – a · x₁

b = y₂ – a · x₂

Weil die rechten Teile dieser Gleichungen gleich sind (also gleich b), soll das für die linken Teilen auch gelten:

y₁ – a · x₁ = y₂ – a ⋅ x₂   | + a · x₂ - y₁

a · x₂ – a · x₁ = y₂ – y₁  | a herausheben

a · (x₂ – x₁) = y₂ – y₁ | : (x₂ – x₁)

Steigung:  $\mathbf {a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Wenn man schon die Steigung (hier durch a gegeben) berechnet hat, kann man eine der beiden Gleichungen benutzen, um auch den y-Achsenabschnitt (hier durch b gegeben) zu berechnen:

b = y₁ – a · x₁   oder   b = y₂ – a · x₂    also

y-Achsenabschnitt:  $\mathbf {b={\frac {x_{2}\cdot y_{1}-x_{1}\cdot y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Beispiel für Steigung mit zwei Punkten

Für die abgebildete Gerade durch die Punkte $P_{1}(0|3)$ und $P_{2}(4|5)$ ergibt sich beispielsweise die Steigung:

$a={\frac {5-3}{4-0}}={\frac {2}{4}}=0{,}5$

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel $P_{3}(5|5{,}5)$ und $P_{4}(7|6{,}5)$, so erhält man:

$a={\frac {6{,}5-5{,}5}{7-5}}={\frac {1}{2}}=0{,}5$

Das kann man auch mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken zeigen.

Die Steigung einer beliebigen Funktion

Die Steigung einer beliebiger Funktion kann man mit Hilfe der Tangente berechnen, wie man im entsprechenden Kapitel über Diagramme lesen kann. Genauer benutzt man die sogenannte Infinitesimalrechnung und die Differentialrechnung. Bei der Differentialrechnung benutzt man die sogenannte Ableitung, die grundsätzlich das gleiche wie der Quotient ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ist, nun aber für ein ${\Delta x}$ das wirklich sehr klein ist (man sagt gegen Null, also so nah zu Null wie möglich). Dafür braucht man allerdings tiefere mathematische Kenntnisse, die hier nicht vorausgesetzt sind.

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität und lineare Funktion

Die direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt A null ist. Wenn wir für die Steigung der linearen Funktion das Symbol s und für den y-Achsenabschnitt das Symbol A, dann lautet die allgemeine Darstellung:

y= s·x + A

Wenn der y-Achsenabschnitt null ist, dann haben wir eine direkte Proportionalität:

y= s·x

Die Steigung ist in diesem Fall das Verhältnis (Quotient) zwischen abhängiger und unabhängiger Variable:

${\text{s}}={\frac {\text{y}}{\text{x}}}$

Es gibt allerdings noch einen Zusammenhang zwischen direkter Proportionalität und linearer Gleichung. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Änderung der unabhängigen und Änderung der abhängigen Variable:

${\text{s}}={\frac {\Delta {\text{y}}}{\Delta {\text{x}}}}$

Das bedeutet, dass eine direkte Proportionalität zwischen den beiden Änderungen besteht:

${\Delta {\text{y}}}={\text{s}}\cdot {\Delta {\text{x}}}$

Direkte Proportionalität und Prozentrechnung

Die direkte Proportionalität ist ein Zusammenhang, der Anwendung in vielen Wissenschaftlichen Bereichen (Physik, Psychologie, Biologie, Wirtschaftswissenschaft usw.) findet. Wenn man zum ersten mal die direkte Proportionalität lernt, lernt man, dass sie dem Satz "je größer das Eine, desto größer das Andere" entspricht. Später lernt man aber viele andere Zusammenhänge, die diesem Satz entsprechen (z.B. manche Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen usw.). Das besondere in der direkten Proportionalität ist, dass wenn die unabhängige Variable (die eine Größe, "x") größer wird, dann wird die abhängige Variable (die andere Größe, "y") um den gleichen Prozentsatz größer. Um das klar zu machen, schauen wir ein Beispiel an:

Die direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion (y=s·x+A), deren y-Achsenabschnitt A null ist.

y= s·x

wo s die Steigung der linearen Funktion (also eine Konstante) ist. Nehmen wir an, dass s=3 ist.

y= 3·x

In diesem Fall ist y=120, wenn x=40 ist.

Wenn jetzt x z. B. 50% mehr wird, dann wird y auch 50% mehr. Wenn z. B. x=40 ist und 50% mehr wird (also ist dann x=60) dann ist y von 3·40=120 auf 3·60=180 gewachsen. 180 ist allerdings 150% von 120, also ebenfalls 50% mehr als 120.

Direkte Proportionalität und Ähnlichkeit von Figuren

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung der andere ist. Bei Figuren mit Winkeln bedeutet das, dass entsprechende Winkel gleich bleiben, die Verhältnisse (Quotienten) der entsprechenden Seiten zu einander ebenfalls.

Wenn man das große und das kleine Dreieck im Bild hier links vergleicht, dann stellt man fest, dass alle entsprechenden Winkel gleich sind (A mit D, B mit E und C mit F). Dreieck DEF ist eine Vergrößerung des Dreiecks ABC. Nehmen wir an, dass Seite DE 1,5 mal so groß wie Seite AB ist, also DE=1,5·AB. Dann muss das gleiche ebenfalls zwischen BC und EF gelten, also EF=1,5·BC. Für die Verhältnisse (Quotienten) gilt dann:

${\frac {DE}{AB}}=1,5$ und ${\frac {EF}{BC}}=1,5$

also, die Quotienten der entsprechenden Seiten sind gleich!

Seite DE ist allerdings 1,5 mal die Seite AB, also um 50% größer als AB. Das gilt allerdings genauso für Seiten EF und BC, also EF ist 50% größer als BC. Man stellt daher fest, dass bei der Ähnlichkeit von Figuren eine direkte Proportionalität (eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt gleich null) für die Längen der Seiten vorliegt: wird eine Seite größer, dann wird die andere auch und zwar um den gleichen Prozentsatz!

Direkte Proportionalität und Schlussrechnung

Die Schlussrechnung (auch Dreisatz genannt) ist ein Verfahren, um Probleme zu lösen, wenn eine direkte Proportionalität vorliegt. Um den Vorgang zu verstehen, probieren wir ein solches Problem zu lösen:

23 $\ell$ eines Stoffes wiegen 92 kg. Wie viel wiegen 0,5 $\ell$?

Unter gewissen Bedingungen, die hier anzunehmen sind, liegt in dieser Aufgabe eine direkte Proportionalität vor. Je mehr das Volumen des Stoffes (je mehr Liter $\ell$), desto mehr auch die Masse (desto mehr Kilogramm kg) und zwar um den gleichen Prozentsatz. Um die Aufgabe zu lösen, beobachtet man zuerst die Struktur der Sätze (grammatikalisch gemeint). Es gibt zwei Sätze. Im ersten Satz werden zwei Sache in Verbindung gebracht ($\ell$ und kg). Diese zwei Sachen schreibt man nebeneinander:

${\begin{matrix}23l\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}92kg\end{matrix}}$

Im zweiten Satz wird etwas gefragt, dabei ist noch eine Zahl für das eine von beiden Sachen gegeben (hier für $\ell$). Diese Zahl schreibt man unter der ersten Zeile und unterhalb von der gleichen Sache (also hier Liter unterhalb von Liter). An der leere Stelle schreibt man (oder irgendein sinnvolles Symbol für das Gefragte):

${\begin{matrix}23l\\\ \\0,5l\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}92kg\\{}\\x\end{matrix}}$

Für kg hat man einen Wert (eine Zahl: 92) und für Liter zwei Zahlen (23 und 0,5). Man fängt mit der Zahl die allein ist (also hier für kg) und macht einen Pfeil schräg gegenüber und multipliziert:

${\begin{matrix}23l\\\\0,5l\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\swarrow \cdot \\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}92kg\\{}\\x\end{matrix}}$

Dann macht man einen Pfeil zur anderen Zahl und dividiert:

${\begin{matrix}23l\\\uparrow :\\0,5l\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\swarrow \cdot \\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}92kg\\{}\\x\end{matrix}}$

Das Ergebnis ist dann:

$x={\frac {92kg\cdot 0,5l}{23l}}=2kg$

Ob x oben oder unten, links oder rechts steht, spielt dabei keine Rolle. Wichtig ist: Die erste zwei (mit einander in Verbindung gebrachten) Sachen auf einer Zeile nebeneinander, die dritte Sache unterhalb der ähnlichen Sache der ersten Zeile (also kg unterhalb von kg, Liter unterhalb von Liter usw.). Das Ergebnis ist dann immer das gleiche:

${\begin{matrix}92kg\\\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\searrow \cdot \\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}23l\\\uparrow :\\0,5l\end{matrix}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{matrix}x\\\\92kg\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\nearrow \cdot \\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0,5l\\\downarrow :\\23l\end{matrix}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{matrix}0,5l\\\downarrow :\\23l\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdot \cdot \cdot \cdot \\\nwarrow \cdot \\\cdot \cdot \cdot \cdot \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\\\92kg\end{matrix}}$

Das Ergebnis ist immer:

$x={\frac {92kg\cdot 0,5l}{23l}}=2$