MathemaTriX ⋅ Vektorrechnungen

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ACHTUNG!
Zumindest Aufgabe 1 und 2 der Matura-
und 1 der Grundaufgaben probieren,
sie sind unterschiedlich!

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	uf-

Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Seien $A={\binom {x_{A}}{y_{A}}}$ , $B={\binom {x_{B}}{y_{B}}}$ zwei Punkte und ${\vec {u}}={\binom {u_{x}}{u_{y}}}$ ein Vektor.

${\vec {AB}}={\binom {x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}}$
Betrag (Länge): $\left|{\vec {u}}\right|={\sqrt {u_{x}^{\ 2}+u_{y}^{\ 2}}}$ (nach dem Satz von Pythagoras, siehe Bild)

Seien ${\vec {a}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}$ , ${\vec {b}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}$ zwei Vektoren.

Strichrechnungen: ${\vec {a}}\pm {\vec {b}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\pm {\binom {b_{1}}{b_{2}}}={\binom {a_{1}\pm b_{1}}{a_{2}\pm b_{2}}}$
Zahl mal Vektor: $m\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}={\binom {m\cdot b_{1}}{m\cdot b_{2}}}$
Skalarprodukt: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$ ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\binom {b_{1}}{b_{2}}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$
- Wenn das Skalarprodukt null ist, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren 90° ("sie stehen normal auf einander") un dumkegehrt, also wenn die Vektoren normal aufeinander stehen, dann ist ihr Skalarprotukt null.

Maturaaufgaben

Eine Richterin, die eine Untersuchung wegen Korruption gegen eine Ministerin angefangen hatte, wollte von Naki nach Titi fliegen. Wie lauten die Koordinaten des Vektors ${\vec {NT}}\$ zwischen den beiden Städten?
Leider ist etwas schief gegangen und das Flugzeug ist aus völlig unbekannten Gründen gestürzt. Die Gründe des Sturzes sind für immer unbekannt geblieben, da niemand sich getraut hat, danach zu suchen... Das Flugzeug ist in einer anderen Stadt gestürzt. Der Vektor zwischen Naki und dieser Stadt lautet ${\tbinom {-4}{-1}}.\$ In welcher Stadt ist das Flugzeug gestürzt?
Wie viel ist der Abstand zwischen Fulo und Lais?
Wie viel ist der Betrag des Vektors zwischen Raba und Naki?
Wie viel ist das Skalarprodukt der Vektoren zwischen Fulo und Lais bzw. zwischen Raba und Naki?
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$ ergibt: ${\tbinom {3}{-3}}\cdot {\tbinom {2}{b}}=0.\$ Wie viel ist b?
Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren null ist?
Jemand fährt 3,6 Längeneinheiten von Lais aus in die Richtung des Vektors ${\tbinom {-1{,}5}{-1}}.\$ Welche Stadt erreicht er dadurch?
Sei die Länge der Seite eines Einheitsquadrats des Koordinatengitters 35 km. Wie viel ist der Abstand in km zwischen Titi und Sain?

Am Punkt (2|1) (Bild) werden zwei Kräfte u und v ausgeübt. Zeichnen Sie die daraus entstehende Kraft!

Antwort

$\ {\tbinom {-5}{2}}$
Raba
$\ {\sqrt {13}}\cdot 100\ km$
${\sqrt {17}}$
$\ 14$
$\ 2$
Die Vektoren stehen normal auf einander
Fulo
$\ 224{,}11\ km$

f(x)=x^{2}-4x+3\

Welche ist die Ausgangsstadt dieser Fahrt?
Befinden sich die Stadt Naki bzw. Sain auf dieser Fahrt?
Befinden sich der Punkt $(3|0)\$ bzw. $(4|1)\$ auf dieser Fahrt?
Wie viel ist der Abstand zwischen Ausgangsstadt und Punkt $(-2|4).\$ Das ist der Abstand zwischen welchen Städten?

Jemand macht eine Wanderung durch den Staat. Er fährt von Titi aus, zunächst ein halbes mal so viel wie die Strecke zwischen Raba und Lais, dann zwei mal so viel wie die Strecke zwischen Titi und Fulo und anschließend ein mal so viel wie die Strecke zwischen Fulo und Raba. Welche Stadt befindet sich am Ende dieser Wanderung?
Addition von zwei Vektoren: Zeichnen Sie die Vektoren zwischen Raba und Titi bzw. Raba und Fulo. Addieren Sie dann den zweiten zum ersten Vektor und zeichnen Sie das Ergebnis (von Raba aus). Welche sind die Koordinaten des neuen Vektors?
Zeichnen Sie den Gegenvektor des Vektors zwischen Naki und Lais bzw. zwischen Naki und Fulo!
Spiegeln Sie den Vektor zwischen Fulo und Raba an der y-Achse!
Wie viel ist die Fläche des Dreiecks zwischen Fulo, Lais und Naki!
Der Vektor ${\tbinom {c}{5}}\$ steht normal auf den Vektor ${\tbinom {3}{-2}}.\$ Wie viel ist c?

Antwort

Fulo
Nein, Ja
Ja, Nein
$ca.\ 223{,}6\ km\$ zwischen Fulo und Titi
Naki

$\ {\vec {a}}+{\vec {c}}={\vec {b}}={\tbinom {0}{5}}\$
${\color {red}{\vec {C}}}\$ bzw. ${\color {red}{\vec {D}}}\$
${\color {red}{\vec {B}}}\$
$\ 45000\ km^{2}$
$\ 3{,}{\dot {3}}$

Der Premierminister, der seine Korrumpierung von internationalen Rohstoffkonzernen verweigert hat, wollte von Fulo nach Sain fliegen. Wie lauten die Koordinaten des Vektors ${\vec {NT}}\$ zwischen den beiden Städten?
Leider ist etwas schief gegangen und das Flugzeug ist aus völlig unbekannten Gründen gestürzt. Die Gründe des Sturzes sind für immer unbekannt geblieben, da niemand sich getraut hat, danach zu suchen... Das Flugzeug ist in den Fluss abgestürzt. Der Vektor zwischen Fulo und Absturzort ist ${\tbinom {5}{-1}}.\$ Welche ist die Stadt am nächsten zu diesem Ort und wie weit entfernt von dort ist sie?
Wie viel ist der Abstand zwischen Wuzote und Naki?
Wie viel ist der Betrag des Vektors zwischen Raba und Sain?
Wie viel ist das Skalarprodukt der Vektoren zwischen Fulo und Wuzote bzw. zwischen Titi und Dust?
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$ ergibt: ${\tbinom {-1}{b}}\cdot {\tbinom {-3}{5}}=2.\$ Wie viel ist b?
Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren null ist?
Jemand fährt $6{\sqrt {2}}$ Längeneinheiten von Lais aus in die Richtung des Vektors ${\tbinom {-1{,}5}{-1{,}5}}.\$ Welche Stadt erreicht er dadurch?
Sei die Länge der Seite eines Einheitsquadrats des Koordinatengitters doch 35 km. Wie viel ist der Abstand in km zwischen Dust und Sain?
Am Punkt (2|1) (Bild) werden zwei Kräfte u und v ausgeübt. Zeichnen Sie die daraus entstehende Kraft!

Antwort

$\ {\tbinom {2}{-4}}$
Sain, 100 km
$\ ca.\ 670{,}8\ km$
$ca.3{,}606\$
$\ 0\$ (normal aufeinander)
$\ -{\tfrac {1}{5}}$
Die Vektoren stehen normal auf einander
Wuzote
$\ 144{,}3\ km$

f(x)=-0{,}375\ x^{2}+0{,}5\ x+3{,}875\

Am welchen Punkt des Koordinatensystems fängt diese Reise an?
Befinden sich die Stadt Naki bzw. Fulo auf dieser Fahrt?
Befinden sich der Punkt $(-1|3)\$ bzw. $(0|4)\$ auf dieser Fahrt?
Wie viel ist der Abstand zwischen Ausgangsort und Punkt $(-2|4).\$ Welche Städte befinden sich auf dieser Strecke?

Jemand macht eine Wanderung durch den Staat. Er fährt von Raba aus, zunächst zwei mal so viel wie die Strecke zwischen Raba und Naki, dann ein halbes mal so viel wie die Strecke zwischen Lais und Wuzote, dann ein mal so viel wie die Strecke zwischen Titi und Fulo und anschließend ein drittel der Strecke zwischen Lais und Naki. Welche Stadt befindet sich am Ende dieser Wanderung?
Addition von zwei Vektoren: Zeichnen Sie die Vektoren zwischen Fulo und Naki bzw. Fulo und Nais. Addieren Sie dann den zweiten zum ersten Vektor und zeichnen Sie das Ergebnis (von Fulo aus). Welche sind die Koordinaten des neuen Vektors?
Zeichnen Sie den Gegenvektor des Vektors zwischen Sain und Dust bzw. zwischen Raba und Wuzote!
Spiegeln Sie den Vektor zwischen Raba und Naki an der x-Achse!
Wie viel ist die Fläche des Dreiecks zwischen Wuzote, Sain und Naki!
Der Vektor ${\tbinom {-2}{c}}\$ steht normal auf den Vektor ${\tbinom {3}{-4}}.\$ Wie viel ist c?

Antwort

Wuzote
Ja, Nein
Ja, Nein
$ca.\ 836{,}8\ km,\$ nur Titi
Dust

$\ {\vec {f}}+{\vec {d}}={\vec {e}}={\tbinom {6}{1}}\$
${\color {red}{\vec {E}}}\$ bzw. ${\color {red}{\vec {A}}}\$
${\color {red}{\vec {F}}}\$
$\ 75000\ km^{2}$
$\ -1{,}5$

Grundaufgaben

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt F
zum Punkt H. Berechnen Sie:

$3{\vec {a}}-2{\vec {v}}_{2}$
$|a|\$ und den Betrag des Vektors $v_{2}$
$3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {v}}_{2}$
Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {v}}_{2}$
Die Länge des Vektors ${\vec {c}}={\vec {v}}_{2}-2{\vec {a}}\$ (genau und gerundet)
Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$
Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Antwort

$\ {\tbinom {-4}{-14}}$
$\ |a|=2{\sqrt {5}},|v_{2}|={\sqrt {26}}\quad$
$\ 36$
$\ 74{,}74^{\circ }$
$\ {\sqrt {82}}\approx 9{,}06\quad$
$\ -2$
$\ a_{x}=2\ ,a_{y}=-4$

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt F
zum Punkt G. Berechnen Sie:

$3{\vec {a}}-2{\vec {b}}$
$|a|\$ und den Betrag des Vektors b
$3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {b}}$
Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}$
Die Länge des Vektors ${\vec {c}}={\vec {a}}-2{\vec {b}}\$ (genau und gerundet)
Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$
Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Antwort

$\ {\tbinom {-12}{-17}}$
$\ |a|={\sqrt {13}},|b|=5$
$\ -108$
$\ 176{,}82^{\circ }$
$\ {\sqrt {185}}\approx 13{,}60$
$\ 1{,}5$
$\ a_{x}=-2\ ,a_{y}=-3$

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt E
zum Punkt C. Berechnen Sie:

$3{\vec {a}}-2{\vec {v}}_{1}$
$|a|\$ und den Betrag des Vektors u
$3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {v}}_{1}$
Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {v}}_{1}$
Die Länge des Vektors ${\vec {c}}={\vec {v}}_{1}-2{\vec {a}}\$ (genau und gerundet)
Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$
Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Antwort

$\ {\tbinom {-8}{7}}$
$\ |a|=3,|v_{1}|={\sqrt {17}}$
$\ 18$
$\ 104{,}04^{\circ }$
$\ {\sqrt {41}}\approx 6{,}40$
$\ ?$
$\ a_{x}=0\ ,a_{y}=3$

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt D
zum Punkt G. Berechnen Sie:

$3{\vec {a}}-2{\vec {u}}$
$|a|\$ und den Betrag des Vektors u
$3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {u}}$
Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {u}}$
Die Länge des Vektors ${\vec {c}}=3{\vec {v}}_{1}-2{\vec {a}}\$ (genau und gerundet)
Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$
Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Antwort

$\ {\tbinom {-16}{-1}}$
$\ |a|=5,|u|=2{\sqrt {5}}$
$\ 24$
$\ 79{,}70^{\circ }$
$\ {\sqrt {409}}\approx 20{,}3$
$\ 0{,}75$
$\ a_{x}=-4\ ,a_{y}=-3$

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