Die Sprache der Mathematik: Beweise

Ein Beweis im Sinne der Mathematik ist die rein logische Verifizierung einer bestimmten Behauptung.

Zum Beweis einer mathematischen Aussage verwendet man bereits bekannte Sätze und logische Folgerungen, um aus gegebenen Voraussetzungen die gegebene Aussage zu folgern.

Zum Beweis bestimmter Arten von Aussagen gibt es bestimmte Vorgehensweisen.

• Zum Beweis einer Implikation $A\Rightarrow B$:

1. Der direkte Beweis: Man nimmt A als gegeben an und zeigt damit B.
2. Kontraposition: Man nimmt B als falsch an und zeigt dann, dass A ebenfalls falsch ist. Dies ist äquivalent dazu, dass aus A Aussage B folgt.
3. Widerspruch: Man nimmt A als richtig und B als falsch an und zeigt, dass die Behauptung ein Widerspruch zu A ist. Somit kann die Aussage "B ist falsch" nicht richtig sein.

• Zum Beweis einer Mengengleichheit $A=B$:

1. Beweis durch Mengeninklusion: Man zeigt $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$
2. Beweis durch Umformung: Selten kann man Mengen, die durch Selektion gebildet sind, durch äquivalente Umformungen der Aussageform beweisen.

• Zum Beweis einer Gleichheit von Zahlen $r=s$:

1. Zwei Zahlen $r,s$ sind gleich, wenn $r\leq s$ und $s\leq r$ gilt.

• Zum Beweis einer Aussage $P(n)$ (P(n) ist eine Aussageform, keine Aussage.) über die natürlichen Zahlen: Der Beweis durch Induktion

1. Zunächst zeigt man die Aussage für n=1 (Induktionsanfang, IA).
2. Dann behauptet man, P(n) gelte für alle n, mit $n\leq k$ für ein $k\in \mathbb {N}$ (Induktionsvoraussetzung, IV).
3. Zum Schluss zeigt man die Aussage $P(n+1)$ indem man diese auf $P(n)$ zurückführt, so dass man die IV verwenden kann. (Induktionsschluss, IS)

(statt den Induktiansanfang bei 1 anzusetzen, kann auch jede beliebige andere natürliche Zahl verwendet werden)

Bekommt man einen bereits bekannten Beweis als Aufgabe gestellt, gilt im Allgemeinen: Wenn nicht alle Voraussetzungen ausgenutzt werden, ist der Beweis falsch!

Das Beweisen bestimmter Aussagen ist ein elementarer Bestandteil der Mathematik, da eine Aussage, deren Wahrheit sich nicht beweisen lässt, als unwahr angenommen werden muss. (Das stimmt nicht.) Also beruht jeder mathematischer Fortschritt auf dem Beweis neuer Aussagen. (Da man aber auch neue Aussagen braucht, sagt man mitunter: Jeder mathematische Fortschritt beruht zunächst auf einem Irrtum.)

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