Diffgeo: Kurventheorie: Parameterisierung nach Bogenlänge

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Parameterdarstellung nach Bogenlänge[Bearbeiten]

Wird t wie vorher als Zeit betrachtet, so wäre es auch interessant, die Kurve nach dem Weg, genauer der Bogenlänge , parametrisieren zu können. Dazu ist eine Parametertransformation nötig. Die Gestalt der Kurve muss natürlich gleich bleiben.

Gesucht wird also eine Transformationsfunktion

Ein kleiner Teil des Bogens kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras annäherend geschrieben werden als:

.

Im Limes ergibt sich:

,

oder

.

Daraus finden wir durch Integrieren:

,

Diese Formel lässt sich auch wie folgt ableiten:

Der Punkt bewegt sich nur vorwärts auf der Kurve; die Geschwindigkeit mit der sich der Punkt bewegt ist also positiv:

Deshalb ist:

Dies können wir durch Integration lösen und erhalten den Zusammenhang zwischen s und t. Die durch die Norm vorgegebene Berechnungsvorschrift (Wurzelziehen aus den x-,y-,z-Skalaren) setzen wir ein.


Definition Parametertransformation Bogenlänge und t  



Die Parametrisierung nach der Bogenlänge wird auch natürliche Parameterdarstellung genannt.

Praxisbeispiel[Bearbeiten]

Stellen Sie sich vor, die Schraubenlinie aus Beispiel 2 beschreibt die Auffahrt in einem Parkhaus mit Radius r=8m und Höhe h=12m. Sie möchten entlang der unteren der Strecke einen Warnstreifen anbringen. Wieviel Meter Streifen werden benötigt?

Schraubenlinie

Die Höhe h=12m ist erreicht, wenn t=2m gilt:

Zuerst wollen wir für die Schraubenlinie den Parameter berechnen

Die Länge der Auffahrt ergibt sich zu:

Benötigt werden also 20m Warnstreifen.

Die natürliche Parameterdarstellung:

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