Diskussion:Einführung in die Funktionentheorie/ Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Habe diesen Abschnitt hierher kopiert, da inhaltlich falsch.

es gibt keine wohldefinierte Funktion, die jeder komplexen Zahl einen logarithmus zuordnet, weil die Exponentialfunktion nicht inektiv ist. So was kann man nur auf einfach zusammenhängenden Gebieten ausserhalb des Nullpunktes definieren.

Der natürliche Logarithmus komplexer Zahlen

Wir definieren den natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl genau wie den einer reellen Zahl durch die Gleichung:

Das Logarithmieren der Gleichung ist ebenfalls Quatsch und hat keine Beweiskraft.

$\quad e^{\ln z}=z.$

Durch Logarithmieren dieser Gleichung nach der im Reellen gültigen Regel ergibt sich

$\ln z\cdot \ln e=\ln z\,,$

und wir erhalten wegen ln e = 1 eine Identität und damit die Bestätigung, dass die angewendete Regel auch im Komplexen gilt.

Setzen wir

$z=r\,e^{i\varphi }=e^{\ln r}\cdot e^{i\varphi }=e^{\ln r+i\varphi },$

(der Beweis für die letzte Umformung findet sich im Kapitel "Exponentialfunktion")

so ist nach der eingangs gegebenen Definition

$\ln z=\ln r+i\varphi \,$

woraus der Logarithmus jeder komplexen Zahl z (z ungleich 0) berechnet werden kann.

Nun ist aber

$z=r\,e^{i\varphi }\equiv r\,e^{i\left({\varphi +k2\pi }\right)}\quad \quad k\;{\mbox{ganzzahlig}}{\mbox{,}}\quad {\mbox{0}}\leq \varphi <2\pi$

und daher

$\ln z=\ln r+i\left({\varphi +k2\pi }\right).$

Der Logarithmus einer komplexen Zahl kann demnach unbeschränkt viele Wert annehmen, die alle im Realteil übereinstimmen und deren Imaginärteil sich um ganzzahlige Vielfache von 2π unterscheiden. Die dazugehörigen Punkte der Zahlenebene liegen auf einer Parallelen zur imaginären Achse im Abstand ln r. Der Wert, den ln z für k = 0 annimmt, heißt der Hauptwert von ln z und wird mit einem Stern (*) gekennzeichnet:

$\ln ^{*}z=\ln r+i\,\varphi \quad \quad 0\leq \varphi <2\pi ,$

Für φ = 0 stimmt der Hauptwert mit ln r überein, ist also gleich dem Logarithmus der reellen Zahl r.

Eine andere Konvention besteht darin, ähnlich wie bei den zyklometrischen Funktionen (arcsin x, ...) nur den Hauptwert ln* z als den natürlichen Logarithmus von z zu bezeichnen und die übrigen Lösungen der Gleichung

$\quad e^{w}=z$

so zu beschreiben:

$w=\ln z+i\,k\,2\pi =\ln r+i\left({\varphi +k2\pi }\right)\quad \quad 0\leq \varphi <2\pi .$

Für das Folgende übernehme ich diese Konvention.

 

Für das Produkt zweier komplexer Zahlen

$z_{1}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\quad {\mbox{und}}\quad z_{2}=r_{2}e^{i\varphi _{2}}\quad \quad 0\leq \varphi _{1},\varphi _{2}<2\pi$

gilt (siehe dort)

$z_{1}\,z_{2}=r_{1}\,r_{2}e^{i\left({\varphi _{1}+\varphi _{2}}\right)}.$

Daher ist

$\ln \left({z_{1}\,z_{2}}\right)=\ln \left({r_{1}\,r_{2}}\right)+i\left({\varphi _{1}+\varphi _{2}}\right)=\ln r_{1}+i\varphi _{1}+\ln r_{2}+i\varphi _{2}=\ln z_{1}+\ln z_{2}.$

Analog findet man

$\ln {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\ln z_{1}-\ln z_{2}\quad \quad \left({z_{2}\neq 0}\right).$

Es gelten also auch hier dieselben Gesetze wie "im Reellen".