Einführung in die Funktionentheorie/ Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Definitionen

Funktion einer komplexen Veränderlichen

Einer Menge M von komplexen Zahlen z sei durch eine bestimmte Rechenvorschrift f je genau eine komplexe Zahl w zugeordnet. Dann bezeichnet man die Größe w als eine Funktion der Größe z und schreibt dies:

$\quad w=f(z).$

Die Menge M heißt Definitionsbereich D der Funktion f(z). Die Menge aller Zahlen, welche die "abhängige Variable" w annimmt, wenn die "unabhängige Variable" z alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft, heißt Wertebereich W der Funktion. Die Zahl w, die durch die Funktion einer Zahl z zugeordnet ist, heißt der zu z gehörige Funktionswert w(z).

Es sei f eine Funktion von z und w der Funktionswert von z. Setzen wir

$z=x+i\,y\quad {\mbox{und}}\quad w=u+i\,v,$

so sind u und v reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y:

$u=u(x,y),\quad v=v(x,y).$

Man nennt u den reellen und v den imaginären Teil der Funktion f(z). (Der zweite Name ist natürlich nicht ganz korrekt, denn der "imaginäre Teil" ist ja eine reelle Funktion - genauso wie der "Imaginärteil" einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist. Aber diese Namenskonventionen sind bequem und haben sich daher durchgesetzt.)

Da wir es bei Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit vier Variablen (x, y, u, v) zu tun haben, ist eine bequeme Veranschaulichung, wie wir sie von reellen Funktionen mit zwei oder auch drei Variablen kennen, nicht möglich. Bei einer Funktion f(x, y) von zwei reellen unabhängigen Variablen lässt sich ein Funktionswert z = f(x, y) als "Höhe" eines Punktes über der XY-Ebene darstellen, und die Gesamtheit der Funktionswerte bildet eine Fläche (ein "Gelände") im Raum. Bei Funktionen einer komplexen Variablen dagegen sind die Funktionswerte ebenfalls komplexe Zahlen, die sich als Punkte in der UV-Ebene darstellen lassen. Diese Punkte müssen dann auf irgendeine Weise mit den jeweils dazugehörigen Punkten der XY-Ebene verknüpft werden. Dies kann etwa dadurch geschehen, dass man für eine Anzahl von Kurven in der XY-Ebene (z. B. für die Geraden eines Gitternetzes) die dazugehörigen Bildkurven in der UV-Ebene konstruiert und zusätzlich eine Auswahl einander entsprechenden Punkten markiert.

Beispiel:

$f(z)=e^{z}=e^{x+i\,y}=e^{x}\cdot e^{i\,y}=e^{x}\left({\cos y+i\sin y}\right)$

 

Grenzwert einer Funktion einer komplexen Veränderlichen

Wie bei den reellen Funktionen spielt auch hier der Begriff des Grenzwerts eine wichtige Rolle, und er wird hier analog wie dort definiert:

Dem Definitionsbereich D einer Funktion f werde eine Zahlenfolge (z_n) entnommen, die dem Grenzwert ζ zustrebt und deren Glieder sämtlich von ζ verschieden seien. Wenn für alle solche Zahlenfolgen die Folge (w_n) der dazu gehörigen Funktionswerte w_n = f(z_n) demselben Grenzwert ω zustrebt, dann sagt man, es sei der Grenzwert von f(z) für z gegen ζ gleich ω, und schreibt dies:

$\lim _{z\to \zeta }f(z)=\omega .$

Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden:

Für jede (noch so kleine) positive Zahl ε lässt sich stets eine andere positive Zahl δ angeben, so dass für

$\left|{z-\zeta }\right|<\delta \quad {\mbox{stets}}\quad \left|{f(z)-\omega }\right|<\varepsilon \quad {\mbox{ist}}{\mbox{.}}\quad \quad \left({z\in D}\right)$

 

Stetigkeit

Eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen z ist an der Stelle z = ζ stetig, wenn stets

$\lim _{z\to \zeta }f(z)=f(\zeta )$

ist. ("Stets" bedeutet hier: für jeden beliebigen Weg der Annäherung an den Wert ζ.)

Anders ausgedrückt: An einer Stelle, an der die Funktion stetig ist, fällt der Grenzwert der Funktion bei Annäherung an die Stelle ζ stets mit dem Funktionswert an der Stelle ζ zusammen.

Ist eine Funktion an jeder Stelle des Definitionsbereichs D stetig, so sagt man, sie sei im ganzen Definitionsbereich stetig.

Wie bei den reellen Funktionen gilt:

• Jedes Polynom einer komplexen Veränderlichen z ist in der ganzen z-Ebene stetig.

• Eine rationale Funktion von z ist überall dort stetig, wo sie definiert ist.

• Eine Funktion f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ist genau an den Stellen stetig, an denen die reellen Funktionen u und v stetig sind.

 

Potenzreihen als Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Eine (komplexe) Potenzreihe (siehe 1. Teil)

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}}\equiv a_{0}+a_{1}\left({z-z_{0}}\right)+a_{2}\left({z-z_{0}}\right)^{2}+\cdots +a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}+\cdots$

mit dem Mittelpunkt z₀ und einem Konvergenzradius r > 0 hat für jeder Stelle z im Innern ihres Konvergenzkreises einen bestimmten Wert. Also wird durch die Potenzreihe jedem Wert z im Innern des Konvergenzkreises ein bestimmter Zahlenwert w zugeordnet. Genau dies ist aber das Kennzeichen einer Funktion. Also definiert die Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises eine bestimmte Funktion

$\quad w=f(z).$

Von dieser Funktion sagt man, sie sei durch die Potenzreihe dargestellt oder (in besonderen Fällen) sie sei in die Potenzreihe entwickelt.

Die durch Potenzreihen dargestellten oder darstellbaren Funktionen heißen analytische Funktionen.

Analytische Funktionen sind im Innern ihres Konvergenzkreises stetig und differenzierbar.

 

Polynomfunktionen

Eine Funktion $p:{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }$, die durch einen Ausdruck der Form

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

gegeben ist, heißt Polynomfunktion. Man kann Polynomfunktionen auffassen als Potenzreihen, bei denen nur endlich viele Koeffizienten von null verschieden sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom in $\mathbb {C} [z]$

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

dessen Grad $n\geq 1$ ist, hat mindestens eine Nullstelle. Das heißt: Wenn n eine natürliche Zahl ist und $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ beliebige komplexe Zahlen sind und $n\geq 1$ ist, so gibt es mindestens eine komplexe Zahl ζ, für die

$p\left(\zeta \right)=a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0$

ist.

Zerlegung ganzer rationaler Funktionen in Linearfaktoren

Gegeben sei eine ganze rationale Funktion n-ten Grades der komplexen Veränderlichen z

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\quad \quad \left({a_{n}\neq 0,\quad n\geq 1}\right)$

und es sei z₁ eine Nullstelle des Polynoms.

Dann ist, wie man leicht zeigen kann, dieses Polynom durch (z – z₁) ohne Rest teilbar. Die Division ergibt ein neues Polynom p₁(z) von (n – 1). Grad, sodass

$\quad p(z)=(z-z_{1})p_{1}(z),$

wobei der Koeffizient des höchsten Gliedes z^n-1 wiederum a_n ist.

Wenn n > 1 ist, so ist (n – 1) > 0, und man kann auf p₁ wiederum den Fundamentalsatz anwenden, wonach auch dieses Polynom mindestens eine Nullstelle z₂ hat, woraus folgt

$\quad p_{1}=(z-z_{2})p_{2}(z),$

und so weiter. Schließlich erhält man für das ursprüngliche Polynom (und die ursprüngliche ganze rationale Funktion) die "Produktdarstellung"

$p(z)=a_{n}\left({z-z_{1}}\right)\left({z-z_{2}}\right)\cdots \left({z-z_{n}}\right).$

Also gilt:

Jedes Polynom n-ten Grades (n>= 1) kann als Produkt von n Polynomen 1. Grades (sog. Linearfaktoren) und des Koeffizienten a_n dargestellt werden.

Daraus folgt sofort, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat, die aber nicht alle verschieden sein müssen. Vielmehr können jeweils mehrere der Nullstellen und damit jeweils mehrere der Linearfaktoren gleich sein.

Bezeichnen wir die voneinander verschiedenen Nullstellen mit ζ₁, ζ₂,..., ζ_k und die Häufigkeit ihres Auftretens der Reihe nach mit ν₁, ν₂,...,ν_k, so können wir die Produktdarstellen des Polynoms so schreiben:

$p(z)=a_{n}\left({z-\zeta _{1}}\right)^{\nu _{1}}\left({z-\zeta _{2}}\right)^{\nu _{2}}\cdots \left({z-\zeta _{k}}\right)^{\nu _{k}}.$

Reelle Polynome einer komplexen Veränderlichen

Ein Polynom einer komplexen Veränderlichen, dessen Koeffizienten a_k alle reell sind, wird ein reelles Polynom genannt.

Hat ein reelles Polynom p(z) eine nicht reelle Nullstelle

$z_{1}=x_{1}+iy_{1},\quad \quad (y_{1}\neq 0)$

so ist auch die zu z₁ konjugierte komplexe Zahl

${\bar {z}}_{1}=x_{1}-iy_{1}$

eine Nullstelle von p(z).

(Dieser Sachverhalt kann so begründet werden, dass beim Ausmultiplizieren der Linearfaktoren die Entstehung eines nicht reellen Koeffizienten nur dann verhindert wird, wenn komplexe Nullstellen paarweise konjugiert komplex auftreten.)

Das reelle Polynom p(z) ist dann durch das reelle Polynom zweiten Grades

$\left[{z-\left({x_{1}+iy_{1}}\right)}\right]\left[{z-\left({x_{1}-iy_{1}}\right)}\right]=\left({z-x_{1}}\right)^{2}+y_{1}^{2}$

ohne Rest teilbar. Der Quotient ist dann wiederum ein reelles Polynom, usw.

Folglich gilt:

Jedes reelle Polynom einer Veränderlichen, dessen Grad größer als 1 ist, kann in ein Produkt reeller Polynome ersten oder zweiten Grades zerlegt werden.

 

Rationale Funktionen

Sind $P$ und $Q\neq 0$ zwei Polynome in ${\mathbb {C} }[X]$, so liefert der Quotient $P/Q$ eine Funktion, die außerhalb der (endlich vielen) Nullstellen von $Q$ definiert ist. Eine solche Funktion nennt man rationale Funktion. Da Potenzreihen in einem Punkt mit einem von null verschiedenen Wert invertierbar sind, die inverse Funktion also selbst durch eine Potenzreihe beschreibbar ist, sind rationale Funktionen analytisch.

Transzendente Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Die Exponentialfunktion

Die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\;,$

worin x eine reelle Variable ist, ist beständig konvergent und definiert daher eine für alle Werte x stetige Funktion, die mit der Exponentialfunktion e^x identisch ist.

Sie wird nun dazu benutzt, die Exponentialfunktion für komplexe Variable zu definieren. Da eine Potenz mit komplexem Exponenten von sich aus keinerlei Bedeutung hat, dürfte man diese ganz beliebig definieren. Eine solche Definition sollte jedoch nicht willkürlich geschehen, sondern die Zweckmäßigkeit und die Kontinuität berücksichtigen. Das bedeutet in diesem Fall, dass die Definition der Exponentialfunktion mit komplexem Exponenten für den Sonderfall eines reellen Exponenten (der ja auch eine komplexe Zahl ist) mit der Definition für reelle Exponenten übereinstimmt und dass die bisher gültigen Rechengesetze allenfalls erweitert, aber nicht außer Kraft gesetzt werden. Diese (und weitere Gesichtspunkte) berücksichtigt folgende Definition: Es ist

$e^{z}=\exp z=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Zunächst erkennt man, dass die Definition für den Fall, dass z eine reelle Zahl ist, mit der eingangs angegebenen Definition übereinstimmt.

Ferner lässt sich zeigen, dass das Additionstheorem für die Exponentialfunktion weiterhin gilt, d. h. es ist

$e^{z_{1}}\cdot e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}.$

Ferner wird verabredet, dass für eine reelle Zahl a gelten soll:

$a^{z}\equiv \left({e^{\ln a}}\right)^{z}=e^{z\cdot \ln a}.$

Für eine reelle Zahl y folgt aus der Definition

$e^{iy}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left({i\,y}\right)^{n}}{n!}}=1+{\frac {i\,y}{1!}}+{\frac {\left({i\,y}\right)^{2}}{2!}}+{\frac {\left({i\,y}\right)^{3}}{3!}}+\cdots ,$

$e^{iy}=1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+-\cdots \quad +i\left[{{\frac {y}{1!}}-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-{\frac {y^{7}}{7!}}+-\cdots }\right],$

woraus folgt

$\quad e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

oder in der meist benutzten Form

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

Speziell folgt daraus

$e^{2\pi \,i}=1\,,\quad e^{\pi \,i}=-1\,,\quad e^{{\frac {\pi }{2}}\,i}=i\,,\quad e^{-{\frac {\pi }{2}}\,i}=-i\;.$

Setzt man z = x +i y, so ist

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}\left({\cos y+i\sin y}\right).$

Aus dieser Gleichung kann der Wert von e^z für jedes z berechnet werden.

In der trigonometrischen (oder goniometrischen) Form geschrieben, ist

$e^{z}=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen ergibt sich dann

$r=\left|{e^{z}}\right|=e^{x}=e^{\Re (z)}\quad {\mbox{und}}\quad \varphi =y=\Im (z).$

Nach dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ist

$e^{z+2\pi \,i}=e^{z}\cdot e^{2\pi \,i},$

und wegen exp (2πi) = exp (k 2π i) = 1 ist

$e^{z+k2\pi \,i}=e^{z},$

wobei k irgendeine ganze (möglicherweise auch negative) Zahl ist.

Die Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2πi. Daher folgt aus

$\quad e^{u}=e^{v},$

dass

$u=v+k\,2\pi \,i$

ist.

Die trigonometrischen Funktionen

Analog zur Exponentialfunktion werden auch die Funktionen sin z und cos z für komplexe Argumente z durch die aus dem Reellen bekannten Potenzreihen eindeutig definiert:

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-+\cdots ,$

$\sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-+\cdots .$

Ferner wird definiert

$\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\quad \quad (\cos z\neq 0)$

und

$\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}\quad \quad (\sin z\neq 0).$

Ähnliche Überlegungen und Untersuchungen wie oben bei der Exponentialfunktion bestätigen die Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Insbesondere lässt sich aus den Definitionen herleiten:

Die Eulerschen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen z:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z,\quad \quad e^{-iz}=\cos z-i\sin z,$

$\sin z={\frac {1}{2i}}\left({e^{iz}-e^{-iz}}\right),\quad \quad \cos z={\frac {1}{2}}\left({e^{iz}+e^{-iz}}\right).$

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus gelten auch für komplexe Zahlen w und z:

$\sin \left({w\pm z}\right)=\sin w\cos z\pm \cos w\sin z,$

$\cos \left({w\pm z}\right)=\cos w\cos z\mp \sin w\sin z.$

Ebenso gilt

$\quad \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1.$

Durch Anwendung des Additionstheorems auf sin z = sin (x + i y) erhält man zunächst

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x\cos iy+\cos x\sin iy.$

Ersetzt man dann cos iy und sin iy durch die entsprechenden Exponentialfunktionen, so ergibt sich

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x{\frac {1}{2}}\left({e^{-y}+e^{y}}\right)+\cos x{\frac {1}{2i}}\left({e^{-y}-e^{y}}\right)$

und dann – unter Vorgriff auf die Hyperbelfunktionen -

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$

und ebenso

$\cos \left({x+iy}\right)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$

Die Hyperbelfunktionen

Ebenso wie bei den trigonometrischen Funktionen werden bei den Hyperbelfunktionen die Definitionen einfach auf komplexe Argumente übertragen:

$\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}},\quad \quad \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}.$

Durch Vergleich ergibt sich auch

$\sinh z={\frac {1}{i}}\sin(iz)\quad \quad {\mbox{und}}\quad \quad \cosh z=\cos(iz).$

Über die Reihenentwicklung der jeweils rechts stehenden trigonometrischen Funktionen ergeben sich die beständig konvergenten Potenzreihen

$\sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\cdots \quad {\mbox{und}}\quad \cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots \;.$