Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen
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Letzter Kommentar: vor 1 Jahr von Zornsches Lemma in Abschnitt Aufgabe 2, Lösung zu d)
Aufgabe 2, Lösung zu d)
[Bearbeiten]Hallo an alle,
die Lösung zu 2 d) ist aus meiner Sicht falsch. Die Argumentation wäre aus meiner Sicht nur dann richtig, wenn die rechte Sigma-Algebra nur den Bildbereich enthalten würde. Dann und nur dann wären alle Urbilder in der linken Sigma-Algebra enthalten und messbar in Bezug auf die dann bestehenden Sigma-Algebren. Tatsächlich beinhaltet aber u.a. alle ungeraden Zahlen.
ist nicht -messbar. Gleiches gilt für .
(In Aufgabe 2 a) wird mit analog die Nicht-Messbarkeit argumentiert.) Marsmac1 11:15, 26. Jun. 2023 (CEST)
- Hallo Marsmac1,
- Danke für deine Frage!
- Tatsächlich ist die Lösung der Aufgabe 2d richtig. Es ist gar nicht wichtig, ob die Elemente der rechten Sigma-Algebra Teilmengen des Bildes sein.
- Z.B. ist
- Warum gilt das?
- Wir müssen uns beide Teilmengenbeziehungen überlegen. Also, dass sowohl als auch gilt. Überlegen wir uns zuerst . Für eine ungerade Zahl , gibt es ein mit . Dann gilt . Also ist eine ungerade Zahl. Folglich ist und damit .
- Jetzt müssen wir uns überlegen. Sein , d.h. . Somit ist eine ungerade Zahl. Wir wollen zeigen, dass auch eine ungerade Zahl ist. Wir machen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen ist eine gerade Zahl. Dann ist für ein . Es folgt und damit wäre eine gerade Zahl. Das ist aber ein Widerspruch. Also ist .
- Damit ist die Gleichheit der Mengen gezeigt. Ähnlich kann man das Urbild der geraden Zahlen unter betrachten und zeigen, dass das Urbild wieder alle geraden Zahlen sind.
- Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen. Melde dich gerne wieder, wenn noch etwas unklar ist :) Zornsches Lemma 18:31, 5. Jul. 2023 (CEST)