Diskussion:Statistik: Zufallsvorgang und Wahrscheinlichkeit

Abzählbarkeit

Ich bin kein Mathematiker(noch Schüler) aber m.E. sind die Beispiele für eine überabzählbare Menge falsch. Die Rationalen Zahlen sind abzählbar(1.Diagonalargument). Auch wenn man 1E-10 Cent als Geldbetrag zulässt, sind Gewicht und Geld immer noch Rationale Zahlen. Nur wenn man annimmt, dass jemand 80+pi kg wiegen kann sind diese Mengen überabzählbar. -- 88.72.201.91 18:58, 2. Apr. 2006‎ (Signatur nachgetragen von -- Jürgen 14:40, 20. Okt. 2011 (CEST))

Das ist genau der Unterschied rationale Zahlen sind abzählbar unendlich, und irrationale Zahlen sind überabzählbar unendlich. Was ist nun die Frage?-- ThePacker 18:19, 2. Apr 2006 (UTC)

Man definiert abzählbare Mengen mit sehr vielen Ausprägungen häufig als stetig, sogenannte Quasistetigkeit, weil man sie dann analytisch besser handhaben kann. Es fällt auch niemandem ein, eine Kostenfunktion als Treppenfunktion zu konzipieren, obwohl das die korrekte Darstellung wäre. Ist die stetig, kann man Kostenminimum, Steigungen usw. ermitteln. --Philipendula 08:08, 3. Apr 2006 (UTC)

Nur weil man sie auf die Menge der rationalen Zahlen beschränkt, wird eine Kostenfunktion nicht "unstetig"! - Der Verfasser des voranstehenden Kommentars hat wohl wenig Ahnung von Topologie. Das entscheidende Problem ist nicht die "Stetigkeit" sondern ganz banal die Existenz von Grenzwerten (Cauchy). Tatsächlich ist das Pizza-Beispiel nicht nur IRREFÜHREND bezüglich der Ws-Theorie, sondern auch an vielen Stellen (siehe Kommentare unten) MATHEMATISCH FALSCH modelliert bzw. beschrieben. Der gesamte Text ist Müll! -- ‎217.50.11.184 13:26, 31. Aug.. 2015 (Signatur nachgetragen von: Jürgen 10:43, 3. Sep. 2015 (CEST)-- bitte signiere deine künftigen Beiträge selbst mit 4 Tilden ~~~~)

Überabzählbarkeit; Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes

Ich denke, dass Argument des "Noch-Schülers" ist absolut zutreffend. Man wird sich schwer tun, ein nicht angreifbares Beispiel für Überabzählbarkeit aus dem realen Leben zu finden. Wenn man denn solche Beispiele bringen möchte, wäre es vielleicht das Beste, statt einer späteren "Entschuldigung" zur "Quasistetigkeit" solche Beispiele gleich einzuleiten ".. wenn wir annehmen, jede reelle Zahl wäre als Gewicht (Wert, ... ) möglich, ..." Ich halte auch die Erklärung des Wahrscheinlichkeitsmaßes für verbesserungswürdig. Zum einen wird F nirgends später verwendet, und stiftet insofern nur Verwirrung. Zum anderen: was wäre denn mit F im Fall der Überabzählbarkeit? Also lassen wir wohl F am Besten gleich ganz weg?

F heißt nur, dass wir hier eine Abbildung namens F vor uns haben. Ganz klar ist mir ja nicht, warum die Abbildung F für überabzählbare Ergebnismengen nicht gelten sollte. Das mit der Quasistetigkeit sollte man nicht zu sehr aufbauschen. Das Wikibook richtet sich vor allem an Wirtschaftler, die sind den Umgang mit stetigen Funktionen gewöhnt. --Philipendula 10:13, 10. Apr 2006 (UTC)

-- Meiner Meinung nach macht man es Nicht-Mathematikern nur schwerer, wenn man sich auf nicht vollständig exakte Begriffe einlässt. -- "Stetige Mengen" ist ohnehin kein glücklicher Begriff, das zeigt sich schon daran, dass dann auf einmal stetige Funktionen im Gespräch sind. -- Es kann entweder mit F die (häufig so bezeichnete) Verteilungsfunktion gemeint sein (also F(x)= P({a; a<=x}) ), dann bekommt man kein Problem, sollte aber dann auch explizit diese Beziehung zwischen F und P herstellen. Für den unvorbelasteten und nicht anders instruierten Leser liegt es andererseits nahe, wenn er bis hierher gelesen hat, sich unter F eine Funktion vorzustellen, die Elementen von Ω ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet. Im letzteren Fall kommt man bei überabzählbarem Ω nicht weiter, man braucht dann eine Dichtefunktion. -- Ich meine, man kommt nicht gut darum herum, eines von beiden zu tun: entweder F besser erklären, oder F weglassen.

Es gibt da eine andere Formulierung in der Mathematik: die Mächtigkeit des Kontinuums. Wenn also jede beliebige Zahl des Kontinuums zugelassen wird, dann geht das Ereignis e=r (r=reele Zahl) in der Mächtigkeit des Kontinuums unter. Daher ist es in der Statistik sinnvoll mit abzählbaren Mengen, bzw mit abzählbar unendlich großen Mengen zu operieren. Bei überabzähbar undendlichen Mengen werden Intervalle benutzt, um das Einzelereignis e=r nicht in der Menge des Kontinuums untergehen zu lassen. Denn für jedes beliebige Einzelereignis des Kontinuums ist wahrscheinlich, dass es nie wieder exakt so eintritt. Daher ist es nicht praktikabel für jedes Element des Kontinuums eine Wahrscheinlichkeit anzugeben. Deswegen benutzt man bei 'stetigen' Funktionen immer ein Intervall. -- ThePacker 00:32, 13. Mai 2006 (UTC)

Pizza-Beispiel: unklare Formulierungen

Ich hatte Probleme, beim Pizza-Beispiel zu folgen, da es meiner Meinung nach recht unklar ausgedrückt ist. Darum hier meine Verbesserungsvorschläge:

• Schreibt bei der Beschreibung der Szene, dass 5 Leute nichts trinken und 20 nichts essen!
• Schreibt, dass P(C U B) die Gäste welche Wein und Wasser bestellt haben nicht ausschließt! (Diese Meinung könnte aufkommen, da das Wort "oder" fett gedruckt ist!)

Ich hoffe ich habe das so richtig verstanden! ;)    Michi

Das alles sollen die Leute eigentlich selber rausfinden. Wenn sie Mengenlehre können, müssen sie es verstehen. --Philipendula ? 10:56, 27. Jan. 2007 (CET)

Ach so - dann kann's so bleiben. Aber eine andere Frage: hat das einen Grund, dass ihr das Venn-Diagramm oben mit und unten ohne Bindestrich schreibt?

Nein, kann man ändern. Hatte ich bloß mit gevertet, weil ich auf eine frühere Version zurückgesetzt hatte. --Philipendula ? 13:27, 27. Jan. 2007 (CET)

Pizza-Beispiel: Rechenfehler

Bei den Pizza-Beispiel, der letzden Aufgabe: Die Menge A und B sind disjunkt. Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig ausgewählte Gast kein Wasser oder kein Wein trinkt:

musste doch eingentlich (50-45)/50 = 1/10= .10 ergeben (40Gäste trinken Wein + 20Gäste trinken Mineralwasser von diesen 60 ;) trinken aber, 15 Wein und Wasser 60-15=45Gäste trinken Wein "Oder" Wasser.

P(kein Wasser oder kein Wein) umfasst: keinen Wein, aber Wasser, kein Wasser, aber Wein, weder Wasser noch Wein. Das Gegenteil von allen zusammen ist Wasser und Wein. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1-P(Wasser und Wein). Gruß --Philipendula ? 14:05, 13. Jan. 2011 (CET)

P(kein Wasser oder kein Wein) umfasst: keinen Wein, aber Wasser; kein Wasser, aber Wein; kein Wasser und Wein. Das Gegenteil ist damit meiner Meinung nach klar 1-P(Wasser oder Wein) und somit wie oben angemerkt 1 - 9/10 = 1/10. Gruß --77.21.161.9 12:58, 26. Jun. 2015 (CEST)Tede

Da musst Du Dich bei DeMorgan beschweren. Der behauptet das Folgende schon seit ca. 170 Jahren:

$P({\bar {C}}\cup {\bar {D}})=P({\overline {C\cap D}})=1-P(C\cap D)=1-{\frac {15}{50}}={\frac {35}{50}}=0,7.$

Gruß --Philipendula ? 10:30, 27. Jun. 2015 (CEST)

F

Wenn die Wahrscheinlichkeit als Funktion besprochen wird, steht im Text:

F: Ω → $\mathbb {R}$; A → P(A)

Waer das vielleicht ein Typfehler? Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit(mass) P, eine Abbildung der Potenzmenge von Ω auf das Intervall [0,1]. Das Symbol F hat keine Bedeutung, oder?

Nijdam 17:56, 22. Sep. 2011 (CEST)

Bisher ist es mir nicht gelungen die oben erwähnte Anomalie zu beseitigen. Entweder eine Funktion F wird definiert, dann wäre die übliche Formulierung:

$F:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\omega \mapsto F(\omega )$

oder es handelt sich um eine Funktion P:

$P:E\to \mathbb {R} ,\,A\mapsto P(A),$

wobei E die Ereignismenge ist.

Was mit die Funktion F gemeint ist, bleibt auch dennoch unklar.

Ohne eine bestimmte Funktionsvorschrift ist es übrigens sinnlos die Definition zu erweitern mit der Zufügung des Funktionswert, d.h.

$P:E\to \mathbb {R} ,\,A\mapsto P(A),$

besagt nicht mehr als:

$P:E\to \mathbb {R}$

Nijdam 15:30, 19. Mai 2012 (CEST)

Seit 10 Jahren ist jetzt nichts korrigiert, obwohl die Anmerkungen von Nijdam hinreichend ausführlich waren!

1. Es ist falsch, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß "eine Abbildung der Ergebnismenge Ω auf die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0;1]" ist. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist auf Teilmengen der Ergebnismenge definiert. Definiert sind nur Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen, nicht aber von Ergebnissen.
2. Das Symbol F ist hier völlig unverständlich. Wenn Ω die Ergebnismenge eines abstrakten Wahrscheinlichkeitsraumes ist, dann gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie keine sinnvolle reellwertige Funktion auf Ω.

--Sigma^2 20:22, 20. Apr. 2022 (CEST)

Tip

Am besten klammert man ein Komma in eine math-Umgebung zwischen { und } ein, damit weniger Lehrraum benutzt wird. Vergleiche

$\!3,1425$

und

$\!3{,}1425$.

Nijdam 18:41, 22. Sep. 2011 (CEST)

Pizza-Beispiel Harry und Paula

Die Wahrscheinlichkeit in Viertel anzunehmen ist meiner Meinung nach ein Fehler. Modelliert man das ganze mal als LE so ergibt sich

$\Omega =\{(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})|S_{i}\in \{R_{1},R_{2},M_{1},M_{2}\},\;S_{i}\neq S_{j}\;\forall i\neq j\}$

Das bedeutet man erhaelt

$|\Omega |=4!=24$

Das Ereignis Harry erhaelt zwei Randstuecke wird dann modelliert durch

$E=\{(R_{1},R_{2},M_{1},M_{2}),(R_{1},R_{2},M_{2},M_{1}),(R_{2},R_{1},M_{1},M_{2}),(R_{2},R_{1},M_{2},M_{1})\}$

und damit erhaelt man $|E|=4$

Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass Harry zwei Randstuecke erhaelt

$P(E)={\frac {4}{24}}={\frac {1}{6}}$

Entgegen der intuitiven Antwort 1/4

Noch einfacher laesst sich das ganze wie folgt darstellen:

Angenommen Harry zieht als erster zwei Stuecke, und man betrachtet nur was Harry zieht, so ist die Ergebnismenge wie im Artikel beschrieben (R,M), (R,R), (M,R), (M,M). Es gibt also vier moegliche Elementarereignisse.

Falsch ist bei dieser Modellierung jedoch die Annahme es handele sich um eine Laplaceverteilung, also

$p(\omega )={\frac {\omega }{|\Omega |}}$

Denn hier hat man es mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun. Wenn das erste Stueck, das Harry nimmt ein Randstueck ist (die Wahrscheinlichkeit ist wie man schon intuitiv richtig annimmt 1/2), bleiben noch zwei Mittelstuecke und ein Randstueck uebrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass Harry auch beim zweiten Zug ein Randstueck zieht ist allerdings nun nicht wieder 1/2 sondern 1/3 und es ergibt sich durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten 1/6. -- 77.10.50.222 11:31, 20. Okt. 2011‎ (Signatur nachgetragen von -- Jürgen 14:40, 20. Okt. 2011 (CEST)) Du betrachtest ein anderes Experiment. Im Beispiel tauschen sie sich ein Stück. Nach dem Tausch hat jeder ein eigenes Stück und ein Stuck des Anderen.Nijdam

Typfehler in Pizza-Beispiel

"Ein Ergebnis wäre beispielsweise: Die erste Hälfte ist ein Randstück, die zweite Hälfte ist ein Mittelstück, (R;M) oder kurz RM," - daraus koennen wir entnehmen, dass ein Ergebnis ein Tupel von (im konkreten Fall) Pizzastuecken ist, und dass "RM" eine Kurznotation fuer ein Tupel ist.

"Alle möglichen Paare fasst man in der Ergebnismenge Ω zusammen: Ω = {RR, RM, MR, MM}." - daraus koennen wir entnehmen, dass die Ergebnismenge eine Menge von Tupeln ist.

"Wenn nun bei einem Versuch beispielsweise „RM“ resultiert, ist das ein Ereignis." - daraus koennen wir entnehmen, dass ein Ereignis ebenfalls ein Tupel ist (und ausserdem wohl "Ereignis" synonym zu "Ergebnis").

"Bei „RM“ handelt es sich um ein Elementarereignis." - daraus koennen wir entnehmen, dass auch ein Elementarereignis ein Tupel ist.

"Es ist ein Ereignis, das nur ein Element der Ergebnismenge enthält." - daraus koennen wir nun gar nichts entnehmen. Nach obiger Definition ist ein Ereignis ein Tupel von Pizzastuecken und die Ergebnismenge eine Menge von Tupeln von Pizzastuecken, also sind die Elemente eines Ereignisses Pizzastuecke und die Elemente der Ergebnismenge Tupel von Pizzastuecken, also kann ein Element der Ergebnismenge nicht in einem Ereignis enthalten sein.

"ein Ereignis ist immer eine Teilmenge von Ω." - Ein Tupel ist keine Menge und kann daher auch keine Teilmenge sein.

Und dann noch was anderes:

"Das zusammengesetzte Ereignis A tritt also genau dann ein, [...]" - der Form nach ist das eine Folgerung, nur gibt es davor im Text nichts, woraus man das folgern koennte. Daher sollte es wohl besser als Definition formuliert sein, um nicht zu verwirren.

Die Vereinigungsmenge ist doch kein "oder"?

"Anteil der Leute, die Wasser oder Wein trinken: P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)=\frac {40}{50} + \frac {20}{50} - \frac {15}{50} = \frac {45}{50}=\frac {9}{10}\;."

Das erste Zeichen wäre doch die Vereinigungsmenge, also wäre der Fall dass die Leute sowohl Wasser als auch Wein trinken bereits enthalten. Müsste man dann logischerweise nicht schreiben, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge abzüglich der Schnittmenge gleich usw.? --188.101.78.103 11:45, 25. Jul. 2013 (CEST)

Wie meinen? Ich verstehe das Problem nicht. Wenn C und D addiert werden, muss die Schnittmenge einmal abgezogen werden, weil sie ja sowohl in C als auch in D enthalten ist. Gruß --Philipendula ? 12:56, 25. Jul. 2013 (CEST)