Formelsammlung Mathematik: Analytische Geometrie

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Geraden

Parameterdarstellung

Darstellung zu $p=p_{0}+2{\vec {v}}$
mit $p_{0}={\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$, ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}}$ und $p={\begin{bmatrix}10\\5\end{bmatrix}}$.
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren $p_{0}$ und $p$ (rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors ${\vec {v}}$ (blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.

Punktrichtungsform:

$p(t)=p_{0}+t{\vec {v}},$

$g=\{p(t)\mid t\in \mathbb {R} \}.$

$t$	der Parameter
$p_{0}$	der Stützpunkt
$p(t)$	für jedes $t$ ein Punkt auf der Gerade
${\vec {v}}\neq 0$	der Richtungsvektor
$t{\vec {v}}$	Verschiebungsvektoren
$g$	die Gerade

Punktrichtungsform für die Ebene:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}+tv_{x}\\y_{0}+tv_{y}\end{bmatrix}}.$

Punktrichtungsform für den Raum:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}.$

Gerade durch zwei Punkte: Sind $p_{1},p_{2}$ zwei Punkte mit $p_{1}\neq p_{2}$, so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt $p_{0}:=p_{1}$ und ${\vec {v}}:=p_{2}-p_{1}$. Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.

Zweipunkteform:

$p(t)=(1-t)p_{1}+tp_{2}.$

Zweipunkteform für die Ebene:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=(1-t)\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t\cdot {\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1-t)x_{1}+tx_{2}\\(1-t)y_{1}+ty_{2}\end{bmatrix}}.$

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.

Für $t\in [0,1]$ ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von $p_{1}$ nach $p_{2}$.

Parameterfreie Darstellung

Hesse-Form:

$g=\{p\mid \langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\},$

$p_{0}$: Stützpunkt, ${\vec {n}}$: Normalenvektor.

Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich. In Koordinaten ergibt sich

${\begin{aligned}g&=\{(x,y)\mid n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})=0\}\\&=\{(x,y)\mid n_{x}x+n_{y}y=n_{x}x_{0}+n_{y}y_{0}\}.\end{aligned}}$

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit $|{\vec {n}}|=1$.

Sei ${\vec {v}}\wedge {\vec {w}}$ das äußere Produkt.

Plückerform:

$g=\{p\mid (p-p_{0})\wedge {\vec {v}}=0\}.$

Die Größe $m=p_{0}\wedge {\vec {v}}$ heißt Moment. Beim Tupel $({\vec {v}}:m)$ handelt es sich um Plückerkoordinaten für die Gerade.

In der Ebene gilt speziell:

$g=\{(x,y)\mid (x-x_{0})\Delta y=(y-y_{0})\Delta x\}$

mit ${\vec {v}}=(\Delta x,\Delta y)$.

Sei $a:=\Delta y$ und $b:=-\Delta x$ sowie $c:=ax_{0}+by_{0}$. Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

$g=\{(x,y)\mid ax+by=c\}.$

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

$g=\{(x,y,z)\mid {\begin{vmatrix}(x-x_{0})\Delta y=(y-y_{0})\Delta x\\(y-y_{0})\Delta z=(z-z_{0})\Delta y\\(x-x_{0})\Delta z=(z-z_{0})\Delta x\end{vmatrix}}\}$

mit ${\vec {v}}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$.

Abstand Punkt zu Gerade

Sei $p(t):=p_{0}+t{\vec {v}}$ die Punktrichtungsform einer Geraden und sei $q$ ein weiterer Punkt. Bei ${\vec {d}}(t):=p(t)-q$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von $t$.

Ansatz: Es gibt genau ein $t$, so dass gilt:

$\langle {\vec {d}},{\vec {v}}\rangle =0.$

Lösung:

$t={\frac {\langle {\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle }{\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle }}.$

Ebenen

Parameterdarstellung

Seien ${\vec {u}},{\vec {v}}$ zwei nicht kollineare Vektoren.

Punktrichtungsform:

$p(s,t)=p_{0}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}.$

Parameterfreie Darstellung

Seien ${\vec {v}},{\vec {w}}$ zwei nicht kollineare Vektoren. Durch

$E=\{p\mid (p-p_{0})\wedge {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}=0\}.$

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.

Hesse-Form:

$E=\{p\mid \langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\},$

$p_{0}$: Stützpunkt, ${\vec {n}}$: Normalenvektor. Die Hesse-Form einer Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene mit

${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$.

Es gilt

$\langle {\vec {n}},p-p_{0}\rangle =0\iff \langle {\vec {n}},p\rangle =\langle {\vec {n}},p_{0}\rangle .$

Über den Zusammenhang ${\vec {n}}=(a,b,c)$, $p=(x,y,z)$ und $d=\langle {\vec {n}},p_{0}\rangle$ ergibt sich die

Koordinatenform:

$E=\{(x,y,z)\mid ax+by+cz=d\}.$

Abstand Punkt zu Ebene

Sei $p(s,t):=p_{0}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$ die Punktrichtungsform einer Ebene und sei $q$ ein weiterer Punkt. Bei ${\vec {d}}(s,t):=p-q$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von $(s,t)$.

Ansatz: Es gibt genau ein Tupel $(s,t)$, so dass gilt:

$\langle {\vec {d}},{\vec {u}}\rangle =0\;\;{\text{und}}\;\;\langle {\vec {d}},{\vec {v}}\rangle =0.$

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle \\\langle {\vec {u}},q{-}p_{0}\rangle \end{bmatrix}}$

mit ${\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle &\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle \\\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle &\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle \end{bmatrix}}.$

Die Lösung des LGS ist:

${\begin{aligned}s&={\frac {\langle g_{12}{\vec {v}}-g_{12}{\vec {u}},q{-}p_{0}\rangle }{g_{11}^{2}-g_{12}^{2}}},\\t&={\frac {\langle g_{12}{\vec {u}}-g_{12}{\vec {v}},q{-}p_{0}\rangle }{g_{11}^{2}-g_{12}^{2}}}.\end{aligned}}$