Formelsammlung Mathematik: Vektorrechnung

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Formelsammlung Mathematik

Koordinatenraum[Bearbeiten]

Standardbasis[Bearbeiten]

Standardbasis
In der Ebene
Im Raum

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Standardbasis darstellen:

In der Ebene
Im Raum

Operationen[Bearbeiten]

Addition und Subtraktion[Bearbeiten]

Geometrische Konstruktion der Addition von zwei Vektoren.
Addition Subtraktion
In der Ebene
Im Raum

Rechenregeln für :

Regel Bezeichnung
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Eigenschaften In Worten
Der Nullvektor ist das neutrale Element der Addition.
Die Addition des additiv inversen Vektors zu ist das Gleiche wie die Subtraktion von .
Die Addition des additiv inversen Vektors ergibt den Nullvektor.

Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Skalarmultiplikation
In der Ebene
Im Raum

Rechenregeln für und :

Regel Bezeichnung
Distributivgesetz (Additivität)
Distributivgesetz
Assoziativgesetz
Eigenschaften In Worten
Multiplikation mit eins bewirkt nichts.
Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor.
Multiplikation mit −1 ergibt den additiv inversen Vektor, der genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
Addition mit sich selbst ergibt eine Multiplikation mit einer natürlichen Zahl.
usw.

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Skalarprodukt
In der Ebene
Im Raum

Rechenregeln für und :

,
,
,
.

Die folgende Eigenschaft ist definierend für das Skalarprodukt:

Betrag[Bearbeiten]

Betrag eines Vektors
In der Ebene
Im Raum
Einheitsvektor in Richtung von
In der Ebene
Im Raum

Äußeres Produkt[Bearbeiten]

In der Ebene
Im Raum

Rechenregeln für und :

Regel Bezeichnung
Additivität
Additivität
Homogenität
Antikommutativgesetz
Assoziativgesetz
Eigenschaft
Kriterium für lineare Abhängigkeit

Für zwei Vektoren gilt:

genau dann, wenn und kollinear sind.

Für drei Vektoren gilt:

genau dann, wenn komplanar sind.

Im gilt dabei:

genau dann, wenn
Definition. Skalarprodukt von Bivektor-Produkten
In der Ebene
Im Raum
Allgemein

Betrag:

Für den Betrag gilt:

Cauchy-Binet-Identität:

Lagrange-Identität:

Im Gegensatz zum Vektorprodukt gelten die Regeln für , auch wenn n≠3.

Vektorprodukt[Bearbeiten]

Vektorprodukt
(In der Ebene)
Im Raum

Rechenregeln für und :

,
,
,
,
.

Für den Betrag gilt:

Beziehung zur Determinante:

Jacobi-Identität:

Graßmann-Identität:

Cauchy-Binet-Identität:

Lagrange-Identität:

Tensorprodukt[Bearbeiten]

Tensorprodukt
In der Ebene
Im Raum

Rechenregeln für und :

Regel Bezeichnung
Additivität (Distributivgesetz)
Additivität (Distributivgesetz)
Homogenität (Assoziativgesetz)

Lineare Abbildungen[Bearbeiten]

Matrizen
Endomorphismus
In der Ebene
Im Raum
Endomorphismus Matrix Resultat Inverse Eigenwerte
Identität E−1 = E +1, +1
Skalierung rr
Skalierung der x-Achse r, 1
Skalierung der y-Achse r, 1
Spiegelung an der x-Achse ±1
Spiegelung an der y-Achse ±1
Spiegelung an der Achse des Vektors v=(ab) ±1
Spiegelung am Ursprung −1, −1
Projektion auf die x-Achse nicht vorhanden 0, +1
Projektion auf die y-Achse nicht vorhanden 0, +1
Projektion auf die Achse des Vektors v=(ab) nicht vorhanden 0, +1
Scherung an der x-Achse +1, +1
Scherung an der y-Achse +1, +1
Rotation um φ gegen den Uhrzeigersinn cos(φ)±isin(φ)
Rotation um φ im Uhrzeigersinn cos(φ)±isin(φ)
Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn ±i
Rotation um 90° im Uhrzeigersinn ±i
Entspricht der komplexen Zahl a+bi a±bi
Entspricht der komplexen Zahl r⋅eiφ rcos(φ)±irsin(φ)
Allgemeiner Endomorphismus (a+d)/2±

((ad)2/4+bc)1/2

Beliebige Basisvektoren[Bearbeiten]

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Skalarprodukte

Bei einer Darstellung der Vektoren bezüglich belibigen Basisvektoren müssen die Skalarprodukte der Basisvektoren mit in die Formel einbezogen werden. Man berechnet zunächst die Matrix:

Metrischer Tensor
In der Ebene
Im Raum
Skalarprodukt
In der Ebene,

,

Im Raum,

,