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Formelsammlung Mathematik: Analytische Geometrie

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Formelsammlung Mathematik
Vektorrechnung

Geraden

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Parameterdarstellung

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Darstellung zu
mit , und .
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren und (rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors (blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.

Punktrichtungsform:

der Parameter
der Stützpunkt
für jedes ein Punkt auf der Gerade
der Richtungsvektor
Verschiebungsvektoren
die Gerade

Punktrichtungsform für die Ebene:

Punktrichtungsform für den Raum:

Gerade durch zwei Punkte: Sind zwei Punkte mit , so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt und . Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.

Zweipunkteform:

Zweipunkteform für die Ebene:

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.

Für ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von nach .

Parameterfreie Darstellung

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Hesse-Form:

: Stützpunkt, : Normalenvektor.

Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich. In Koordinaten ergibt sich

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit .

Sei das äußere Produkt.

Plückerform:

Die Größe heißt Moment. Beim Tupel handelt es sich um Plückerkoordinaten für die Gerade.

In der Ebene gilt speziell:

mit .

Sei und sowie . Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

mit .

Abstand Punkt zu Gerade

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Sei die Punktrichtungsform einer Geraden und sei ein weiterer Punkt. Bei handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von .

Ansatz: Es gibt genau ein , so dass gilt:

Lösung:

Ebenen

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Parameterdarstellung

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Seien zwei nicht kollineare Vektoren.

Punktrichtungsform:

Parameterfreie Darstellung

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Seien zwei nicht kollineare Vektoren. Durch

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.

Hesse-Form:

: Stützpunkt, : Normalenvektor. Die Hesse-Form einer Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene mit

.

Es gilt

Über den Zusammenhang , und ergibt sich die

Koordinatenform:

Abstand Punkt zu Ebene

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Sei die Punktrichtungsform einer Ebene und sei ein weiterer Punkt. Bei handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von .

Ansatz: Es gibt genau ein Tupel , so dass gilt:

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

mit

Die Lösung des LGS ist: