Parameterdarstellung[Bearbeiten]
Darstellung zu

mit

,

und

.
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren

und

(rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors

(blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.
Punktrichtungsform:


 |
der Parameter
|
 |
der Stützpunkt
|
 |
für jedes ein Punkt auf der Gerade
|
 |
der Richtungsvektor
|
 |
Verschiebungsvektoren
|
 |
die Gerade
|
Punktrichtungsform für die Ebene:

Punktrichtungsform für den Raum:

Gerade durch zwei Punkte: Sind
zwei Punkte mit
,
so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt
und
.
Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.
Zweipunkteform:

Zweipunkteform für die Ebene:

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.
Für
ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von
nach
.
Parameterfreie Darstellung[Bearbeiten]
Hesse-Form:

: Stützpunkt,
: Normalenvektor.
Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich.
In Koordinaten ergibt sich

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit
.
Sei
das äußere Produkt.
Plückerform:

Die Größe
heißt Moment.
Beim Tupel
handelt es sich um
Plückerkoordinaten für die Gerade.
In der Ebene gilt speziell:

mit
.
Sei
und
sowie
.
Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

mit
.
Abstand Punkt zu Gerade[Bearbeiten]
Sei
die Punktrichtungsform einer Geraden und
sei
ein weiterer Punkt. Bei
handelt
es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von
.
Ansatz: Es gibt genau ein
, so dass gilt:

Lösung:

Parameterdarstellung[Bearbeiten]
Seien
zwei nicht kollineare Vektoren.
Punktrichtungsform:

Parameterfreie Darstellung[Bearbeiten]
Seien
zwei nicht kollineare Vektoren.
Durch

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.
Hesse-Form:

: Stützpunkt,
: Normalenvektor. Die Hesse-Form einer
Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.
Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene
mit
.
Es gilt

Über den Zusammenhang
,
und
ergibt sich
die
Koordinatenform:

Abstand Punkt zu Ebene[Bearbeiten]
Sei
die Punktrichtungsform einer Ebene
und sei
ein weiterer Punkt. Bei
handelt es sich um
den Abstandsvektor in Abhängigkeit von
.
Ansatz: Es gibt genau ein Tupel
, so dass gilt:

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

mit
Die Lösung des LGS ist:
