Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos,sinh,cosh)

3.1

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos a x}{x} \frac{\sinh β x}{\cosh γ x} d x = \log \frac{\cosh \frac{a π}{2 γ} + \sin \frac{β π}{2 γ}}{\cosh \frac{a π}{2 γ} - \sin \frac{β π}{2 γ}} | Re (β) | + | Im (a) | < Re (γ)

Beweis

Betrachte die Formel $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cosh u x}{\cosh γ x} d x = \frac{π}{γ} \sec (\frac{u π}{2 γ})$ für $u = β \pm i a$ mit $| Re (β) | + | Im (a) | < Re (γ)$ .

Wegen $\cosh (β + i a) x + \cosh (β - i a) x = 2 \cosh β x \cos a x$ ist

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cosh β x \cos a x}{\cosh γ x} d x = \frac{π}{2 γ} \sec (\frac{(β + i a) π}{2 γ}) + \frac{π}{2 γ} \sec (\frac{(β - i a) π}{2 γ})$ .

Integriere nach $β$ :

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sinh β x}{x} \frac{\cos a x}{\cosh γ x} d x = \log \tan (\frac{π}{4} + \frac{π (β + i a)}{4 γ}) + \log \tan (\frac{π}{4} + \frac{π (β - i a)}{4 γ})$

Und das lässt sich schreiben als

$\log (\tan (\frac{\frac{π}{2} + \frac{β π}{2 γ} + \frac{i a π}{2 γ}}{2}) \cdot \tan (\frac{\frac{π}{2} + \frac{β π}{2 γ} - \frac{i a π}{2 γ}}{2})) = \log \frac{\cos (\frac{i a π}{2 γ}) - \cos (\frac{π}{2} + \frac{β π}{2 γ})}{\cos (\frac{i a π}{2 γ}) + \cos (\frac{π}{2} + \frac{β π}{2 γ})} = \log \frac{\cosh \frac{a π}{2 γ} + \sin \frac{β π}{2 γ}}{\cosh \frac{a π}{2 γ} - \sin \frac{β π}{2 γ}}$ .