Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp)
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0.1
[Bearbeiten]
lässt sich in Polarkoordinaten schreiben als .
Und das ist .
Die Fläche, die entsteht wenn um die z-Achse rotiert, schließt mit der xy-Ebene das gleiche Volumen ein
wie die Fläche, die entsteht, wenn um die x-Achse rotiert, mit der yz-Ebene.
Also .
Definiert man und , so ist
und .
Es ist also . Folglich muss konstant sein.
Nach der Kettenregel gelten folgende Ableitungen und folgender Grenzwert:
Der Ausdruck in den eckigen Klammern stellt somit die Ursprungsstammfunktion von bezüglich dar.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird auf folgende Weise angewendet:
Mit der Produktregel und dem Satz von Fubini ist folgende Umformung möglich:
Durch Gleichsetzung der beiden zuletzt genannten Gleichungsketten folgt:
Das Integral der Gaußschen Glockenkurve kann mit Hilfe des Wallisschen Produktes bewiesen werden. Hierfür kann folgende Beweisführung formuliert werden:
Es gilt folgende Formel:
Analog hierzu gilt folgende Formel:
Das Integral vom Produkt von Glockenkurvenfunktion und quadrierender Funktion hat diese Identität:
Daraus folgt für alle :
Folgender Grenzwert der Integrale ist gültig:
Durch Einsetzen kommt folgendes Resultat hervor:
Durch Einsetzen der genannten Identität vom Integral aus dem Produkt von Glockenkurvenfunktion und quadrierender Funktion folgt:
Außerdem gilt dieses Integral:
Soergibt sich diese Fortführung der Gleichungsliste:
0.2
[Bearbeiten]Durch Kombination vom Satz von Fubini mit der Produktregel kann generell diese Gleichung formuliert werden:
Also gilt somit:
Und dann gilt:
0.3
[Bearbeiten]Für gilt für .
Das Integral kann so bewiesen werden:
Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von Plus Unendlich!
Der Beweis für die Reihe mit der Riemannschen Zetafunktion kann direkt über ihre Definition zustande gebracht werden:
Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden geometrischen Reihe:
Aus beiden Gleichungsketten folgt:
0.4
[Bearbeiten]Das Integral kann so bewiesen werden:
Bei dem Integral in der zweiten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um eine Abwandlung der Debyeschen Funktionswerte!
Der Beweis für die Reihe mit der Dirichletschen Etafunktion kann direkt über ihre Definition zustande gebracht werden:
Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus Naturalis das Wallissche Produkt.
Und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, welche der Logarithmus Naturalis von Zwei ist.
Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden geometrischen Reihe:
Aus beiden Gleichungsketten folgt:
0.5
[Bearbeiten]Der Beweis geht aus den beiden vorherigen Formeln durch Differenzbildung und anschließende Halbierung hervor:
0.6
[Bearbeiten]Der Beweis geht aus den beiden vorherigen Formeln durch arithmetische Mittelung hervor:
1.1
[Bearbeiten]
1.2
[Bearbeiten].
Nach der Formel , gilt im Fall ,
, und das ist .
ist nach
Substitution gleich .
Die Differenzialgleichung wird gelöst durch , wobei ist.
1.3
[Bearbeiten]In der Formel wird das Integral
nach Substitution zu ,
und lässt sich schreiben als .
1.4
[Bearbeiten]Integriere die Formel nach z' von 1 bis z.
1.5
[Bearbeiten] ist
.
1.6
[Bearbeiten]Wegen ist
und somit .
1.7
[Bearbeiten]Wegen ist
und somit .
1.8
[Bearbeiten]- ist eine Kurve in , die von nach läuft.
- Für kann man als Integrationsweg auch die Gerade , mit , hernehmen.
Die Funktion mit ist auf holomorph.
Für ist
.
Daher verschwinden die Integrale über den Abschnitten für .
Und es ist
.
Daher verschwinden auch die Integrale über den Abschnitten für .
Also ist
.
1.9
[Bearbeiten]- ist eine Kurve in , die von nach läuft.
Ersetze durch die Hankelsche Integraldarstellung .
Nach Substitution ändert sich am Integrationsweg nichts, und es ist
.
1.10
[Bearbeiten]Dies folgt unmittelbar aus den Formeln und .
1.11
[Bearbeiten]1.12
[Bearbeiten]Setze .
Verwende die Reihenentwicklung :
Letzter Integrand ist für gerade gerade und für ungerade ungerade.
Nach Substitution ist .
Dabei ist ,
wobei nach Legendrescher Verdopplungsformel ist.
Also ist ,
und damit ist .
2.1
[Bearbeiten]
2.2
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2.3
[Bearbeiten]
2.4
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2.5
[Bearbeiten]Betrachte die Funktion auf dem Gebiet .
gibt es genau ein und genau ein , so dass ist.
Beim Nenner
hat der Imaginärteil das selbe Vorzeichen wie und der Realteil steigt streng monoton in .
Daher ist die einzige Polstelle von .
Diese erhält man, wenn man und setzt.
Nun ist .
Also gilt nach dem Residuensatz
.
Aus und folgt .
Daher geht gegen null für .
Und aus und folgt .
Daher geht auch gegen null für .
Im Grenzübergang ergibt sich
.
Dabei ist ,
und somit gilt .
Substituiert man , so ist .
4.1
[Bearbeiten]Aus der Gaußschen Formel
folgt .
Nun ist
.