Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp)

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0.1[Bearbeiten]
1. Beweis



lässt sich in Polarkoordinaten schreiben als .

Und das ist .

2. Beweis

Die Fläche, die entsteht wenn um die z-Achse rotiert, schließt mit der xy-Ebene das gleiche Volumen ein

wie die Fläche, die entsteht, wenn um die x-Achse rotiert, mit der yz-Ebene.

Also .

3. Beweis

Definiert man und , so ist

und .

Es ist also . Folglich muss konstant sein.

4. Beweis

Es sei und . Gaussintegralberechnung.PNG

Wegen gilt .

Ist , so geht für der Nenner von gegen oder

und der Zähler geht gegen Null. Also verschwinden die beiden Integrale für .

Wegen gilt nun .

0.2[Bearbeiten]
Beweis

Für gilt für .

1.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.2[Bearbeiten]
1. Beweis

.

Nach der Formel , gilt im Fall ,

, und das ist .

2. Beweis

ist nach Substitution gleich .

Die Differenzialgleichung wird gelöst durch , wobei ist.

1.3[Bearbeiten]
Beweis

In der Formel wird das Integral

nach Substitution zu ,

und lässt sich schreiben als .

1.4[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Malmstén)

Integriere die Formel nach z' von 1 bis z.

1.5[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Cauchy)

ist

.

1.6[Bearbeiten]
Beweis

Wegen ist

und somit .

1.7[Bearbeiten]
Beweis

Wegen ist

und somit .

1.8[Bearbeiten]
ist eine Kurve in , die von nach läuft.


Für kann man als Integrationsweg auch die Gerade , mit , hernehmen.
Beweis für Re(z)>0 (Hankelsche Integraldarstellung für die reziproke Gammafunktion)

Die Funktion mit ist auf holomorph.

Integrationsweg9.PNG



Für ist

.

Daher verschwinden die Integrale über den Abschnitten für .


Und es ist



.

Daher verschwinden auch die Integrale über den Abschnitten für .


Also ist



.

Beweis für Re(z)<1

Die Funktion mit ist auf holomorph.

Hankelintegrationsweg.PNG

Das Integral über dem Kreisbogen verschwindet für , weil wegen für

ist , und daher gilt .

Für die horizontalen Integrationswege gilt:



für .

Daher ist .

Ersetzt man durch , so ist für .

1.9[Bearbeiten]
ist eine Kurve in , die von nach läuft.
Beweis für x>0 (Hankelsche Integraldarstellung für die Besselfunktion)



Ersetze durch die Hankelsche Integraldarstellung .



Nach Substitution ändert sich am Integrationsweg nichts, und es ist .

1.10[Bearbeiten]
Beweis

Dies folgt unmittelbar aus den Formeln und .

1.11[Bearbeiten]
Beweis (Erste Binetsche Formel)

In der Formel ersetze durch :

, wobei ist.

Integriert man beide Seiten unbestimmt nach , so ist

.

Daraus folgt .

Nachdem für das Integral verschwindet, ist .

1.12[Bearbeiten]
Beweis (Poissonsche Darstellung der Besselfunktion)

Setze .

Verwende die Reihenentwicklung :



Letzter Integrand ist für gerade gerade und für ungerade ungerade.



Nach Substitution ist .

Dabei ist   ,

wobei nach Legendrescher Verdopplungsformel ist.

Also ist ,

und damit ist .

2.1[Bearbeiten]
Beweis





2.2[Bearbeiten]
Beweis





2.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.4[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.5[Bearbeiten]
Beweis

Betrachte die Funktion auf dem Gebiet .
Eins durch Log.PNG
gibt es genau ein und genau ein , so dass ist.

Beim Nenner



hat der Imaginärteil das selbe Vorzeichen wie und der Realteil steigt streng monoton in .

Daher ist die einzige Polstelle von .

Diese erhält man, wenn man und setzt.

Nun ist .

Also gilt nach dem Residuensatz .

Aus und folgt .

Daher geht gegen null für .

Und aus und folgt .

Daher geht auch gegen null für .

Im Grenzübergang ergibt sich

.

Dabei ist ,

und somit gilt .

Substituiert man , so ist .

4.1[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Gaußschen Formel

folgt .

Nun ist

.