Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x)
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1.1
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1.2
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1.3
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Nach der Substitution bzw. ist
.
1.4
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1.5
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1.6
[Bearbeiten] ist nach Substitution gleich .
Dies ist nach Eulerscher Summenformel ,
woraus folgt.
2.1
[Bearbeiten]Integriere entlang dem Kreissektor, der durch den Ursprung, und als Eckpunkte beschränkt wird.
Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für . Also ist .
Nachdem sich auch als schreiben lässt, ist
.
Der Imaginärteil hebt sich auf und übrig bleibt .
2.2
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2.3
[Bearbeiten] ist nach der Substitution gleich .
Und auf Grund der Symmetrie ist das das selbe wie .
2.4
[Bearbeiten]Es sei definiert durch für und .
Für gilt die Partialbruchzerlegung .
Also ist
.
Nun soll gezeigt werden, dass die 1.Summe für gegen null konvergiert und die 2.Summe gleich ist.
Für gilt und .
Setzt man , so ist . Also ist die 2.Summe gleich .
Und wegen lässt sich die 1.Summe schreiben als
.
Damit ist gezeigt. Substituiert man durch , so ist .
Für reelle folgt die Behauptung, wenn man eine Folge rationaler Zahlen konstruiert, die gegen konvergiert.
Spalte auf in . Das erste Integral ist .
Und das zweite Integral ist nach Substitution gleich , und somit gleich .
Also ist .
Anders formuliert kann das erste Integral geschrieben werden als
und das zweite Integral geschrieben werden als .
Also ist , was gerade die Partialbruchentwicklung von ist.
Für und ein definiere .
Integriere entlang dem Kreissektor , der durch den Ursprung, und als Eckpunkte beschränkt wird.
Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für .
Also ist , wobei letztes Integral
ist. Und somit ist .
Nach dem Residuensatz ist .
Daher muss gelten .
Nach Substitution ergibt sich die Behauptung zumindest für reelles .
Nach Substitution ist
.
2.5
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2.6
[Bearbeiten]2.7
[Bearbeiten]2.8
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2.9
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Also ist
.
2.10
[Bearbeiten]Diese Formel ist gültig:
Durch Einsetzen von und erhält man die dargestellte Form.
Und durch Einfügen der Untergrenze und Obergrenze wird das unvollständige elliptische Integral F zum vollständigen elliptischen Intetgral K umgewandelt.
2.11
[Bearbeiten]Es sei und der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.
Wenn man beide Seiten mit durchmultipliziert
und mit durchdividiert, so ist
.
Mit einem lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:
Für alle gilt .
Also ist .
Für geht gegen null und die hypergeometrische Reihe lässt sich
nach der Formel für ,
schreiben als wenn bzw. ist. Also ist .
Und das lässt sich unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel schreiben als .
2.12
[Bearbeiten]Aus der Partialbruchzerlegung
folgt .
Also verschwindet für alle .
Nun ist
.
2.13
[Bearbeiten]Aus der Partialbruchzerlegung
folgt .
Also verschwindet für alle .
Nun ist
.
2.14
[Bearbeiten]Aus der Partialbruchzerlegung
folgt unmittelbar .
2.15
[Bearbeiten]Aus der Partialbruchzerlegung
folgt unmittelbar .
2.16
[Bearbeiten]
Nach Substitution ist
.
Nach Substitution ist
.
3.1
[Bearbeiten]3.2
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3.3
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4.1
[Bearbeiten]Setze .
Wegen ist und ist auf holomorph.
Wegen ist für .
Die Integrale über den Kreisbögen verschwinden daher wenn ihr Radius gegen unendlich geht.
Vorübergehend mache man die zusätzliche Einschränkung .
Dann ist , und somit verschwindet das Integral über dem Halbkreis mit Radius , wenn geht.
Damit ist ,
wobei ist.
Also ist
. Und das ist
.
Dass die Formel auch ohne die Einschränkung gilt, sieht man, wenn man sie wiederholt partiell integriert:
.
Und damit ist
.