Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x)

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1.1[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Gauß)



1.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.3[Bearbeiten]
Beweis



Nach der Substitution bzw. ist

.



1.4[Bearbeiten]
Beweis

ist nach Substitution gleich .

Dies ist nach Eulerscher Summenformel , woraus folgt.

2.1[Bearbeiten]
Beweis

Integriere entlang dem Kreissektor, der durch den Ursprung, und als Eckpunkte beschränkt wird.

Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für . Also ist .

Nachdem sich auch als schreiben lässt, ist



.

Der Imaginärteil hebt sich auf und übrig bleibt .

2.2[Bearbeiten]
ohne Beweis (Definition der Betafunktion)


2.3[Bearbeiten]
Beweis

ist nach der Substitution gleich .

Und auf Grund der Symmetrie ist das das selbe wie .

2.4[Bearbeiten]
1. Beweis

Es sei definiert durch für und .

Für gilt die Partialbruchzerlegung .

Also ist

.

Nun soll gezeigt werden, dass die 1.Summe für gegen null konvergiert und die 2.Summe gleich ist.

Für gilt und .

Setzt man , so ist . Also ist die 2.Summe gleich .

Und wegen lässt sich die 1.Summe schreiben als

.

Damit ist gezeigt. Substituiert man durch , so ist .

Für reelle folgt die Behauptung, wenn man eine Folge rationaler Zahlen konstruiert, die gegen konvergiert.

2. Beweis

Spalte auf in . Das erste Integral ist .

Und das zweite Integral ist nach Substitution gleich , und somit gleich .

Also ist .


Anders formuliert kann das erste Integral geschrieben werden als

und das zweite Integral geschrieben werden als .

Also ist , was gerade die Partialbruchentwicklung von ist.

3. Beweis

Für und ein definiere .

Integriere entlang dem Kreissektor , der durch den Ursprung, und als Eckpunkte beschränkt wird.

Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für .

Also ist , wobei letztes Integral

ist. Und somit ist .

Nach dem Residuensatz ist .

Daher muss gelten .

Nach Substitution ergibt sich die Behauptung zumindest für reelles .

4. Beweis



Nach Substitution ist



.

2.5[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.6[Bearbeiten]
Beweis



Und diese Reihe konvergiert gegen .

2.7[Bearbeiten]
Beweis

Verwende die Formel .





2.8[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.9[Bearbeiten]
Beweis







Also ist







.

2.10[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Ramanujan)

Es sei und der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.











Wenn man beide Seiten mit durchmultipliziert

und mit durchdividiert, so ist

.

Mit einem lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:



Für alle gilt .

Also ist .

Für geht gegen null und die hypergeometrische Reihe lässt sich

nach der Formel für ,

schreiben als wenn bzw. ist. Also ist .

Und das lässt sich unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel schreiben als .

2.11[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung

folgt .

Also verschwindet für alle .

Nun ist



.

2.12[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung

folgt .

Also verschwindet für alle .

Nun ist





.

2.13[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung

folgt unmittelbar .

2.14[Bearbeiten]
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung

folgt unmittelbar .

2.15[Bearbeiten]
Beweis



Nach Substitution ist

.

Nach Substitution ist



.

3.1[Bearbeiten]
Beweis

Setzt man , so ist auf holomorph.

Wegen ist für .

Als komplexe Zahl mit positivem Realteil besitzt eine Darstellung mit .

Der Kehrwehrt besitzt dann auch einen positiven Realteil.

Wegen ist nun

. Also ist .

Und das ist . Ersetzt man durch , so ist .

3.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


3.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


4.1[Bearbeiten]
Beweis

Setze .

Wegen ist und ist auf holomorph.

Integrationsweg6.PNG

Wegen ist für .

Die Integrale über den Kreisbögen verschwinden daher wenn ihr Radius gegen unendlich geht.

Vorübergehend mache man die zusätzliche Einschränkung .

Dann ist , und somit verschwindet das Integral über dem Halbkreis mit Radius , wenn geht.

Damit ist ,

wobei ist.

Also ist

. Und das ist

.


Dass die Formel auch ohne die Einschränkung gilt, sieht man, wenn man sie wiederholt partiell integriert:



.

Und damit ist

.