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Formelsammlung Mathematik: Komplexe Zahlen

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Formelsammlung Mathematik

Darstellung[Bearbeiten]

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.
Kartesische Form
Polarform (trigonometrische Darstellung)
Polarform (Exponentialdarstellung)

Elementare Operationen[Bearbeiten]

Name Operation Polarform kartesische Form
Identität
Identität
Identität
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Kehrwert
Potenzierung
Konjugation
Realteil
Imaginärteil
Betrag
Argument

Rechenweg zur Division:

Konjugation[Bearbeiten]

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

Argument[Bearbeiten]

Für alle , und gilt:

Für alle gilt:

Potenzen[Bearbeiten]

Allgemeine Potenzfunktion .
Allgemeine Potenzfunktion für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

Für alle , und gilt:

Für alle , und gilt:

Wurzeln[Bearbeiten]

Graph der Funktion f(z) = z5−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei . Für alle gilt:

Hauptwert:

Hauptwert, allgemein für :

Logarithmen[Bearbeiten]

Definitionen:

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

Für alle und gilt:

Für alle gilt:

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Ist eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist eine komplexe Variable, so gilt für . (: Landau-Symbol)


Aufgabe 2[Bearbeiten]

Sind komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist irgendeine komplexe Zahl, so ist und .


Aufgabe 3[Bearbeiten]

Ist eine komplexe Zahl, so ist .


Aufgabe 4[Bearbeiten]


Aufgabe 5[Bearbeiten]

   , mit


Vergleich verschiedener Darstellungen zum Thema bei Wikibooks

Die komplexen Zahlen werden in folgenden Büchern von Wikibooks behandelt:

Einzelne Kapitel anderer Bücher richten sich an bestimmte Zielgruppen: