Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin,Gamma)

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1.1

${\int }_0^1\log \mathrm{\Gamma }(x)\sin (2n\pi x)dx=\frac{\gamma +\log (2n\pi )}{2n\pi }n\in {\mathbb{Z}}^{>0}$

Beweis

Multipliziere die Formel $\log \mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{x-1}{t{e}^t}-\frac{1-e^{-t(x-1)}}{t(e^t-1)})dt$

mit $\sin (2n\pi x)$ durch und integriere nach $x$ von 0 bis 1 :

$I_n:={\int }_0^1\log \mathrm{\Gamma }(x)\sin (2n\pi x)dx$

$={\int }_0^1{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{x-1}{t{e}^t}\sin (2n\pi x)-\frac{1-e^{-t(x-1)}}{t(e^t-1)}\sin (2n\pi x))dtdx$

Vertausche anschließend die Integrationsreihenfolge.

Wegen ${\int }_0^1\sin (2n\pi x)dx=0,{\int }_0^{1}x\sin (2n\pi x)dx=-\frac{1}{2n\pi }$

und ${\int }_0^1{e}^{-t(x-1)}\sin (2n\pi x)dx=\frac{2n\pi }{(2n\pi {)}^2+t^2}(e^t-1)$

ist daher $I_n={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(-\frac{1}{2n\pi }\frac{1}{t{e}^t}+\frac{1}{t}\frac{2n\pi }{(2n\pi {)}^2+t^2})dt$.

$2n\pi I_n={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{(2n\pi {)}^2}{(2n\pi {)}^2+t^2}-\frac{1}{e^t})\frac{dt}{t}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{e^{2n\pi t}})\frac{dt}{t}$

Und das ist $\gamma +\log (2n\pi )$ wegen ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{t^{z-1}}{1+t^2}-\frac{t^{z-1}}{e^{2n\pi t}})dt=\frac{\pi }{2}\frac{1}{\sin \frac{\pi z}{2}}-\frac{\mathrm{\Gamma }(z)}{(2n\pi {)}^z}$

$=(\frac{\pi }{2}\frac{1}{\sin \frac{\pi z}{2}}-\frac{1}{z})+\frac{1}{(2n\pi {)}^z}(\underset{\frac{1}{z}+\log (2n\pi )+O(z)}{\underbrace{\frac{1}{z}(2n\pi {)}^z}}-\mathrm{\Gamma }(z))\to \gamma +\log (2n\pi )$ für $z\to 0^{+}$.