Zum Inhalt springen

Formelsammlung Mathematik: Differentialrechnung

Aus Wikibooks
Formelsammlung Mathematik

Ableitung

[Bearbeiten]

Definition

[Bearbeiten]

Sei und sei eine offene Umgebung von .

Definition. Ableitung.

Ableitung (Differentialquotient) von an der Stelle :

mit .

Ableitungsregeln

[Bearbeiten]

Seien an der Stelle differenzierbare Funktionen und es gelte . Seien konstante reelle Zahlen.

Dann gilt:

Funktion Ableitung an der Stelle Bezeichnung
Konstantenregel
Faktorregel (Homogenität)
Summenregel (Additivität)
Differenzenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kehrwertregel

Kettenregel: Sei

Ist an der Stelle differenzierbar und an der Stelle differenzierbar, so gilt

oder in leibnizscher Notation:


Ableitung elementarer Funktionen

[Bearbeiten]
Name Funktion Ableitung
Potenzfunktion
Potenzfunktion
Kehrwert
Quadratwurzel
n-te Wurzel
eulersche Exponentialfunktion
Exponentialfunktion
natürlicher Logarithmus
Logarithmus
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Arkussinus
Arkuskosinus
Arkustangens
Arkuskotangens
Sinus Hyperbolicus
Kosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus
Kotangens Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus
Areakosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus
Areakotangens Hyperbolicus
Ableitungen

Approximation, Reihenentwicklung

[Bearbeiten]

Tangente und Normale

[Bearbeiten]

Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen von an der Stelle :

Funktionsgleichung der Normale an den Graphen von an der Stelle :

Taylorreihe

[Bearbeiten]

Sei eine an der Stelle a unendlich oft differenzierbare Funktion.

Definition. Taylorreihe.

Taylorreihe von an der Stelle a:

mit .

Beim Spezialfall a=0 spricht man von einer Maclaurin-Reihe.

Es gilt immer .

Für einige Funktionen gilt in einer Umgebung von a.

Für manche Funktionen gilt sogar für alle x. Das ist z. B. bei allen Polynomfunktionen und bei exp, sin, cos der Fall.

Liste von Reihenentwicklungen

Sätze über differenzierbare Funktionen

[Bearbeiten]

Stetigkeit

[Bearbeiten]

Satz. Satz über die Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion.

Ist eine reelle Funktion an einer Stelle differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion auf dem Intervall differenzierbar, dann ist sie auf dem Intervall auch stetig. Das Intervall ist beliebig, es kann auf beiden Seiten unabhängig voneinander jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein. Bei einem geschlossenen Intervall ist aber an der Randstelle nur die einseitige Differenzierbarkeit gefordert, denn die Stellen abseits der Randstelle gehören nicht mehr zum Definitionsbereich.

Sätze über stetige Funktionen

Mittelwertsatz

[Bearbeiten]

Satz. Mittelwertsatz.

Sei a<b. Sei auf [ab] stetig und auf (ab) differenzierbar.

Es gibt mindestens ein , so dass

gilt.

Anschaulich: Es gibt mindestens eine Tangente mit der gleichen Steigung wie die Sekante durch die Punkte (af(a)) und (bf(b)).

Satz von Rolle

[Bearbeiten]

Satz. Satz von Rolle.

Sei a<b. Sei auf [ab] stetig und auf (ab) differenzierbar.

Im Fall gibt es mindestens ein mit der Eigenschaft