Definition. Funktion.
Eine Funktion
ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Zielmenge Z zuordnet.
Formale Definition. Eine Funktion ist ein Tupel
, wobei gilt:
1.
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ist eine Relation
|
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2.
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ist linkstotal
|
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3.
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ist rechtseindeutig
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Graph
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 |
Definitionsbereich
|
 |
Zielmenge
|
 |
für
|
Es gilt:







Definition. Urbild.
Für
ist

das Urbild von
unter
.
Es gilt:











Kommutiert dieses Diagramm, so ist

. Somit muss

injektiv sein.
Definition. Injektion.
Eine Funktion
heißt injektiv, wenn gilt:
![{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in A\,[f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2fe51f35e222c40829d42cdb277ae962248e58)
oder via Kontraposition:
![{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in A\,[x_{1}\neq x_{2}\implies f(x_{1})\neq f(x_{2})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526cc0570f22c7f3f0dae4f40acd74dc89b08ddb)
Definition. Linksinverse.
Sei
eine Funktion. Eine Funktion
mit

heißt Linksinverse von
.
- Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt. (→Beweis)
- Eine Injektion kann mehrere unterschiedliche Linksinverse haben.
Kommutiert dieses Diagramm, so ist

. Somit muss

surjektiv sein.
Definition. Surjektion.
Eine Funktion
heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge mit ihrer Zielmenge übereinstimmt, d. h. wenn gilt:

Da
aber allgemeingültig ist, genügt es,
zu zeigen.
Definition. Rechtsinverse.
Sei
eine Funktion. Eine Funktion
mit

heißt Rechtsinverse von
.
- Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt. Die Teilaussage »Eine Surjektion besitzt mindestens eine Rechtsinverse.« erfordert aber das Auswahlaxiom.
- Eine Surjektion kann mehrere unterschiedliche Rechtsinverse besitzen.
Kommutiert dieses Diagramm, so ist

und

. Somit muss

bijektiv und

sein.
Definition. Bijektion.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Satz und Definition. Umkehrfunktion.
Genau dann ist
eine Bijektion, wenn eine Funktion
mit der Eigenschaft
und 
existiert.
Die Funktion
ist eindeutig bestimmt und wird als Umkehrfunktion (inverse Funktion) von
bezeichnet.
Es gilt das Assoziativgesetz:

Es gilt:
- Sind
injektiv, so ist
injektiv.
- Sind
surjektiv, so ist
surjektiv.
- Sind
bijektiv, so ist
bijektiv.
- Ist
injektiv, so ist
injektiv.
- Ist
surjektiv, so ist
surjektiv.
- Ist
bijektiv, so ist
injektiv und
surjektiv.
Definition. Inklusion.
Für zwei Mengen
mit
wird

als Inklusionsabbildung, kurz Inklusion bezeichnet.
Ist
die Inklusion, so gilt:
