Formelsammlung Mathematik: Funktionen

↑ Formelsammlung Mathematik

Definition

Definition. Funktion.

Eine Funktion $f\colon D\to Z$ ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Zielmenge Z zuordnet.

Formale Definition. Eine Funktion ist ein Tupel $f:=(G,D,Z)$, wobei gilt:

1.	$f$ ist eine Relation	$G\subseteq D\times Z$
2.	$f$ ist linkstotal	$\forall x{\in }D\;\exists y{\in }Z\colon \,(x,y)\in G$
3.	$f$ ist rechtseindeutig	$\forall x{\in }D\;\forall (x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\colon \,(x,y_{1})=(x,y_{2})$

$G$	Graph
$D$	Definitionsbereich
$Z$	Zielmenge
$f(x)$	$y=f(x)$ für $(x,y)\in G$

Bildmenge

Definition. Bild.

Für $f\colon D\to Z$ und $A\subseteq D$ ist

$f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}$

das Bild von $A$ unter $f$. Hierbei ist

$\{f(x)\mid x\in A\}:=\{y\mid \exists x{\in }A\;(y=f(x))\}=\{y\mid \exists x(x\in A\land y=f(x))\}.$

Es gilt:

1. $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2}),$
2. $f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2}),$
3. $f{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}),$
4. $I\neq \{\}\implies f{\Big (}\bigcap _{i\in I}A_{i}{\Big )}\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i}),$
5. $A_{1}\subseteq A_{2}\implies f(A_{1})\subseteq f(A_{2}),$
6. $f(\{\})=\{\},$
7. $(g\circ f)(A)=g(f(A)).$

Urbild

Definition. Urbild.

Für $f\colon D\to Z$ ist

$f^{-1}(B):=\{x\in D\mid f(x)\in B\}.$

das Urbild von $B$ unter $f$.

Es gilt:

1. $f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2}),$
2. $f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2}),$
3. $f^{-1}{\Big (}\bigcup _{i\in I}B_{i}{\Big )}=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i}),$
4. $I\neq \{\}\implies f^{-1}{\Big (}\bigcap _{i\in I}B_{i}{\Big )}=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i}),$
5. $B_{1}\subseteq B_{2}\implies f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2}),$
6. $f^{-1}(\{\})=\{\},$
7. $f^{-1}(Z)=D,$
8. $f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}),$
9. $f^{-1}(Z\setminus B)=D\setminus f^{-1}(B),$
10. $(g\circ f)^{-1}(B)=f^{-1}(g^{-1}(B)),$
11. $(f|_{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B).$

Injektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $g\circ f=\operatorname {id} _{A}$. Somit muss $f$ injektiv sein.

Definition. Injektion.

Eine Funktion $f\colon A\to B$ heißt injektiv, wenn gilt:

$\forall x_{1},x_{2}\in A\,[f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}]$

oder via Kontraposition:

$\forall x_{1},x_{2}\in A\,[x_{1}\neq x_{2}\implies f(x_{1})\neq f(x_{2})].$

Definition. Linksinverse.

Sei $f\colon A\to B$ eine Funktion. Eine Funktion $g\colon B\to A$ mit

$g\circ f=\operatorname {id} _{A}$

heißt Linksinverse von $f$.

• Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt. (→Beweis)
• Eine Injektion kann mehrere unterschiedliche Linksinverse haben.

Surjektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $f\circ g=\operatorname {id} _{B}$. Somit muss $f$ surjektiv sein.

Definition. Surjektion.

Eine Funktion $f\colon A\to B$ heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge mit ihrer Zielmenge übereinstimmt, d. h. wenn gilt:

$B=f(A).$

Da $f(A)\subseteq B$ aber allgemeingültig ist, genügt es, $B\subseteq f(A)$ zu zeigen.

Definition. Rechtsinverse.

Sei $f\colon A\to B$ eine Funktion. Eine Funktion $g\colon B\to A$ mit

$f\circ g=\operatorname {id} _{B}$

heißt Rechtsinverse von $f$.

• Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt. Die Teilaussage »Eine Surjektion besitzt mindestens eine Rechtsinverse.« erfordert aber das Auswahlaxiom.
• Eine Surjektion kann mehrere unterschiedliche Rechtsinverse besitzen.

Bijektionen

Kommutiert dieses Diagramm, so ist $g\circ f=\operatorname {id} _{A}$ und $f\circ g=\operatorname {id} _{B}$. Somit muss $f$ bijektiv und $f^{-1}=g$ sein.

Definition. Bijektion.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Satz und Definition. Umkehrfunktion.

Genau dann ist $f\colon A\to B$ eine Bijektion, wenn eine Funktion $g$ mit der Eigenschaft

$g\circ f=\operatorname {id} _{A}$ und $f\circ g=\operatorname {id} _{B}$

existiert.

Die Funktion $f^{-1}:=g$ ist eindeutig bestimmt und wird als Umkehrfunktion (inverse Funktion) von $f$ bezeichnet.

Komposition

Definition. Komposition.

Für $f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ ist

$(g\circ f)(x):=g(f(x)),\;g\circ f\colon A\to C$

die Komposition (Verkettung), sprich $g$ nach $f$.

Es gilt das Assoziativgesetz:

$h\circ g\circ f:=h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$

Es gilt:

1. Sind $f,g$ injektiv, so ist $g\circ f$ injektiv.
2. Sind $f,g$ surjektiv, so ist $g\circ f$ surjektiv.
3. Sind $f,g$ bijektiv, so ist $g\circ f$ bijektiv.
4. Ist $g\circ f$ injektiv, so ist $f$ injektiv.
5. Ist $g\circ f$ surjektiv, so ist $g$ surjektiv.
6. Ist $g\circ f$ bijektiv, so ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv.

Iteration

Definition. Iteration.

Für eine Selbstabbildung $f\colon X\to X$ bezeichnet man mit $f^{n}$ die n-te Iterierte von $f$.

Man definiert:

$f^{0}:=\mathrm {id} _{X},$

$f^{n}:=f^{n-1}\circ f.\quad (n\geq 1)$

Ausnahmen in der Notation gibt es bei den Winkelfunktionen:

$\sin ^{2}x=\sin(x)^{2}=(\sin x)^{2}$ anstelle von $\sin(\sin(x))$,

$\cos ^{2}x=\cos(x)^{2}=(\cos x)^{2}$ anstelle von $\cos(\cos(x))$,

usw.

Inklusion

Definition. Inklusion.

Für zwei Mengen $A,B$ mit $A\subseteq B$ wird

$\iota (x):=x,\;\iota \colon A\to B$

als Inklusionsabbildung, kurz Inklusion bezeichnet.

Einschränkung

Definition. Einschränkung.

Für $f\colon D\to Z$ und $M\subseteq D$ nennt man

$f|_{M}(x):=f(x),\;f|_{M}\colon M\to Z$

die Einschränkung von $f$ auf $M$.

Ist $\iota \colon M\to D$ die Inklusion, so gilt:

$f|_{M}=f\circ \iota .$