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Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linksinverse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Injektivität und linksinverse Abbildung

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Voraussetzung

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sei eine Abbildung und .

Behauptung

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ist injektiv hat eine Linksinverse .

(Dabei heißt eine Linksinverse zu , wenn gilt.)

Beweis

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  •  : werde als injektiv vorausgesetzt. sei ein fest gewähltes Element aus dem (nichtleeren) Definitionsbereich . Die gesuchte linksinverse Abbildung wird nun definiert durch
    , falls in der Bildmenge von liegt und ist (da injektiv ist, ergibt sich eindeutig aus ).
    , falls nicht in der Bildmenge von liegt.
  •  : Es gelte . Nun seien mit gegeben. Wir müssen zeigen.
    Dazu wird auf die Gleichung angewendet, was ergibt. Mit der Eigenschaft der Linksinversen haben wir , also .

Wikipedia-Verweise

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Bildmenge - Identische Abbildung - Injektivität - Komposition


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