Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linksinverse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Injektivität und linksinverse Abbildung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Abbildung und .

Behauptung[Bearbeiten]

ist injektiv hat eine Linksinverse .

(Dabei heißt eine Linksinverse zu , wenn gilt.)

Beweis[Bearbeiten]

  •  : werde als injektiv vorausgesetzt. sei ein fest gewähltes Element aus dem (nichtleeren) Definitionsbereich . Die gesuchte linksinverse Abbildung wird nun definiert durch
    , falls in der Bildmenge von liegt und ist (da injektiv ist, ergibt sich eindeutig aus ).
    , falls nicht in der Bildmenge von liegt.
  •  : Es gelte . Nun seien mit gegeben. Wir müssen zeigen.
    Dazu wird auf die Gleichung angewendet, was ergibt. Mit der Eigenschaft der Linksinversen haben wir , also .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Bildmenge - Identische Abbildung - Injektivität - Komposition


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