Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtsinverse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Surjektivität und rechtsinverse Abbildung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

ist surjektiv hat eine Rechtsinverse .

(Dabei heißt eine Rechtsinverse zu , wenn gilt.)

Beweis[Bearbeiten]

  •  : werde als surjektiv vorausgesetzt. Jedes Element hat also mindestens ein Urbild unter der Abbildung . sei eine Funktion, die jedem ein Urbild zuweist (eine solche Funktion existiert nach dem Auswahlaxiom). Dann ist erfüllt.
  •  : Es gelte . Nun sei gegeben. Wir müssen ein mit angeben.
    Die Festlegung leistet das Verlangte, denn .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Auswahlaxiom - Identische Abbildung - Komposition - Surjektivität - Urbild (Mathematik)


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