Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtsinverse

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Surjektivität und rechtsinverse Abbildung

Voraussetzung

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f$ ist surjektiv $⟺$ $f$ hat eine Rechtsinverse $g$.

(Dabei heißt $g:B\to A$ eine Rechtsinverse zu $f$, wenn $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B$ gilt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f$ werde als surjektiv vorausgesetzt. Jedes Element $y\in B$ hat also mindestens ein Urbild unter der Abbildung $f$. $g:B\to A$ sei eine Funktion, die jedem $y\in B$ genau ein Urbild zuweist (eine solche Funktion existiert nach dem Auswahlaxiom). Dann ist $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B$ erfüllt.
• $\Leftarrow$ : Es gelte $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B$. Nun sei $b\in B$ gegeben. Wir müssen ein $a\in A$ mit $f(a)=b$ angeben.
  Die Festlegung $a:=g(b)$ leistet das Verlangte, denn $f(a)=f(g(b))={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B(b)=b$.

Wikipedia-Verweise

Auswahlaxiom - Identische Abbildung - Komposition - Surjektivität - Urbild (Mathematik)

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