Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Elemente

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Elemente von Ordinalzahlen sind ihrerseits Ordinalzahlen.

Beweis[Bearbeiten]

Sei Ordinalzahl und . Sei . Per Transitivität von folgt und dann auch . Weder noch können das -minimale Element von sein, also folgt . Mithin ist transitiv. Da aus per Transitivität folgt, ist als Teilmenge einer wohlgeordneten Menge wohlgeordnet. Insgesamt ist also eine Ordinalzahl.